Considere um vetor A cujas componentes no sistema de coordenadas original (y, z) são Ay e Az. Esse sistema de coordenadas é rotacionado em um ângulo phi para um novo sistema (y^prime, z^prime). (a) Encontre as expressões para as novas componentes Ay^prime e Az^prime em função das componentes originais Ay e Az e do ângulo phi. (b) Verifique que a norma de A permanece inalterada após a rotação.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor A com componentes Ay e Az no sistema de coordenadas original (y, z). Esse sistema é rotacionado em um ângulo phi para formar um novo sistema (y', z'). Precisamos:
  • a) Encontrar as novas componentes Ay' e Az' em função de Ay, Az e phi.
  • b) Verificar se a norma de A permanece a mesma após a rotação.
Para isso, vamos usar conceitos de rotação de coordenadas e propriedades da norma de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a rotação de coordenadas funciona. Quando rotacionamos o sistema de coordenadas em um ângulo phi, as novas componentes Ay' e Az' do vetor A são obtidas através da seguinte transformação:
Ay' = Ay cos phi + Az sin phi Az' = -Ay sin phi + Az cos phi
Essa fórmula vem da aplicação da matriz de rotação em 2D para transformar as coordenadas do vetor.

Passo 3

Vamos derivar essas expressões passo a passo. A matriz de rotação para um ângulo phi é dada por:
R(phi) = cos phi & sin phi -sin phi & cos phi
Aplicando essa matriz ao vetor A com componentes (Ay, Az), temos:
Ay' Az' = R(phi) cdot Ay Az = cos phi & sin phi -sin phi & cos phi Ay Az
Fazendo a multiplicação, obtemos:
Ay' = Ay cos phi + Az sin phi
Az' = -Ay sin phi + Az cos phi

Passo 4

Agora, vamos verificar se a norma de A permanece a mesma após a rotação. A norma do vetor no sistema original é:
|A| = raizAy^2 + Az^2
Após a rotação, a norma no novo sistema é:
|A| = raizAy'^2 + Az'^2
Substituindo as expressões de Ay' e Az':
Ay'^2 + Az'^2 = (Ay cos phi + Az sin phi)^2 + (-Ay sin phi + Az cos phi)^2
Expandindo os termos:
= Ay^2 cos^2 phi + 2 Ay Az cos phi sin phi + Az^2 sin^2 phi + Ay^2 sin^2 phi - 2 Ay Az sin phi cos phi + Az^2 cos^2 phi
Os termos intermediários se cancelam:
= Ay^2 (cos^2 phi + sin^2 phi) + Az^2 (sin^2 phi + cos^2 phi)
Como cos^2 phi + sin^2 phi = 1, temos:
= Ay^2 + Az^2
Portanto, a norma permanece a mesma após a rotação.

Resposta

As novas componentes são:
Ay' = Ay cos phi + Az sin phi
Az' = -Ay sin phi + Az cos phi
E a norma de A permanece inalterada após a rotação.

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