Considere um vetor cujas componentes no sistema de coordenadas original são e . Esse sistema de coordenadas é rotacionado em um ângulo para um novo sistema . (a) Encontre as expressões para as novas componentes e função das componentes originais e e do ângulo . (b) Verifique que a norma de permanece inalterada após a rotação.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor com componentes e no sistema de coordenadas original . Esse sistema é rotacionado em um ângulo para formar um novo sistema . Precisamos:
  • a) Encontrar as novas componentes e em função de , e .
  • b) Verificar se a norma de permanece a mesma após a rotação.
Para isso, vamos usar conceitos de rotação de coordenadas e propriedades da norma de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a rotação de coordenadas funciona. Quando rotacionamos o sistema de coordenadas em um ângulo , as novas componentes e do vetor são obtidas através da seguinte transformação:
Essa fórmula vem da aplicação da matriz de rotação em 2D para transformar as coordenadas do vetor.

Passo 3

Vamos derivar essas expressões passo a passo. A matriz de rotação para um ângulo é dada por:
Aplicando essa matriz ao vetor com componentes , temos:
Fazendo a multiplicação, obtemos:

Passo 4

Agora, vamos verificar se a norma de permanece a mesma após a rotação. A norma do vetor no sistema original é:
Após a rotação, a norma no novo sistema é:
Substituindo as expressões de e :
Expandindo os termos:
Os termos intermediários se cancelam:
Como , temos:
Portanto, a norma permanece a mesma após a rotação.

Resposta

As novas componentes são:
E a norma de permanece inalterada após a rotação.

Exercícios relacionados

Considere os vetores e . Resolva:
c - Encontre o vetor unitário perpendicular ao plano definido por e , usando .
Dado o vetor , determine:
b - O ângulo que forma com o eixo .
Considere o ponto no sistema de coordenadas polares, onde . Resolva:
b - Determine o comprimento do vetor posição em termos de suas componentes cartesianas.
Dado um ponto em coordenadas cilíndricas com , determine:
a - As coordenadas cartesianas de e interprete a localização de no sistema de coordenadas cartesiano.