Considere um vetor
cujas componentes no sistema de coordenadas original
são
e
. Esse sistema de coordenadas é rotacionado em um ângulo
para um novo sistema
. (a) Encontre as expressões para as novas componentes
e
função das componentes originais
e
e do ângulo
. (b) Verifique que a norma de
permanece inalterada após a rotação.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor
com componentes
e
no sistema de coordenadas original
. Esse sistema é rotacionado em um ângulo
para formar um novo sistema
. Precisamos:
- a) Encontrar as novas componentes
e em função de , e . - b) Verificar se a norma de
permanece a mesma após a rotação.
Para isso, vamos usar conceitos de rotação de coordenadas e propriedades da norma de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a rotação de coordenadas funciona. Quando rotacionamos o sistema de coordenadas em um ângulo
, as novas componentes
e
do vetor
são obtidas através da seguinte transformação:
Essa fórmula vem da aplicação da matriz de rotação em 2D para transformar as coordenadas do vetor.
Passo 3
Vamos derivar essas expressões passo a passo. A matriz de rotação para um ângulo
é dada por:
Aplicando essa matriz ao vetor
com componentes
, temos:
Fazendo a multiplicação, obtemos:
Passo 4
Agora, vamos verificar se a norma de
permanece a mesma após a rotação. A norma do vetor no sistema original é:
Após a rotação, a norma no novo sistema é:
Substituindo as expressões de
e
:
Expandindo os termos:
Os termos intermediários se cancelam:
Como
, temos:
Portanto, a norma permanece a mesma após a rotação.
Resposta
As novas componentes são:
E a norma de
permanece inalterada após a rotação.