Dado um ponto P em coordenadas cilíndricas com (rho, phi, z)=(3, pi / 4,2), determine:
a - As coordenadas cartesianas de P e interprete a localização de P no sistema de coordenadas cartesiano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá as coordenadas cilíndricas de um ponto P, que são (rho, phi, z) = (3, pi/4, 2). Nosso objetivo aqui é transformar essas coordenadas para o sistema cartesiano e entender onde esse ponto está localizado nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como converter coordenadas cilíndricas para cartesianas. As fórmulas que vamos usar são:
x = rho cdot cos(phi)
y = rho cdot sin(phi)
z = z
Essas fórmulas nos permitem encontrar as coordenadas x, y e z no sistema cartesiano a partir das coordenadas rho, phi e z nas coordenadas cilíndricas.

Passo 3

Vamos aplicar essas fórmulas com os valores que temos:
rho = 3
phi = pi4
z = 2
Calculando x:
x = 3 cdot cos(pi4) = 3 cdot raiz22 = 3raiz22 approx 2,12
Calculando y:
y = 3 cdot sin(pi4) = 3 cdot raiz22 = 3raiz22 approx 2,12
O valor de z já está direto:
z = 2

Passo 4

Agora que temos as coordenadas cartesianas, podemos interpretar a localização do ponto P. No sistema cartesiano, o ponto P approx (2,12, 2) está localizado no primeiro octante, já que todas as coordenadas são positivas. Isso significa que ele está na direção positiva dos eixos x, y e z, acima do plano xy.

Resposta

As coordenadas cartesianas de P são aproximadamente (2,12, 2,12, 2). O ponto P está localizado no primeiro octante do sistema de coordenadas cartesiano, na direção positiva dos eixos x, y e z.

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