Dado um ponto em coordenadas cilíndricas com , determine:
a - As coordenadas cartesianas de e interprete a localização de no sistema de coordenadas cartesiano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá as coordenadas cilíndricas de um ponto , que são . Nosso objetivo aqui é transformar essas coordenadas para o sistema cartesiano e entender onde esse ponto está localizado nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como converter coordenadas cilíndricas para cartesianas. As fórmulas que vamos usar são:
Essas fórmulas nos permitem encontrar as coordenadas , e no sistema cartesiano a partir das coordenadas , e nas coordenadas cilíndricas.

Passo 3

Vamos aplicar essas fórmulas com os valores que temos:
Calculando :
Calculando :
O valor de já está direto:

Passo 4

Agora que temos as coordenadas cartesianas, podemos interpretar a localização do ponto . No sistema cartesiano, o ponto está localizado no primeiro octante, já que todas as coordenadas são positivas. Isso significa que ele está na direção positiva dos eixos , e , acima do plano .

Resposta

As coordenadas cartesianas de são aproximadamente . O ponto está localizado no primeiro octante do sistema de coordenadas cartesiano, na direção positiva dos eixos , e .

Exercícios relacionados

Considere o ponto no sistema de coordenadas polares, onde . Resolva:
b - Determine o comprimento do vetor posição em termos de suas componentes cartesianas.
Considere um vetor cujas componentes no sistema de coordenadas original são e . Esse sistema de coordenadas é rotacionado em um ângulo para um novo sistema . (a) Encontre as expressões para as novas componentes e função das componentes originais e e do ângulo . (b) Verifique que a norma de permanece inalterada após a rotação.
Considere um ponto representado em coordenadas esféricas por , onde e .
a - Converta as coordenadas esféricas de para coordenadas cartesianas .
Uma superfície cilíndrica é definida por . Com base nessas informações, resolva:
a - Determine o elemento de área da superfície lateral do cilindro.