Dado um ponto
em coordenadas cilíndricas com
, determine:
a - As coordenadas cartesianas de
e interprete a localização de
no sistema de coordenadas cartesiano.
a - As coordenadas cartesianas de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá as coordenadas cilíndricas de um ponto
, que são
. Nosso objetivo aqui é transformar essas coordenadas para o sistema cartesiano e entender onde esse ponto está localizado nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como converter coordenadas cilíndricas para cartesianas. As fórmulas que vamos usar são:
Essas fórmulas nos permitem encontrar as coordenadas
,
e
no sistema cartesiano a partir das coordenadas
,
e
nas coordenadas cilíndricas.
Passo 3
Vamos aplicar essas fórmulas com os valores que temos:
Calculando
:
Calculando
:
O valor de
já está direto:
Passo 4
Agora que temos as coordenadas cartesianas, podemos interpretar a localização do ponto
. No sistema cartesiano, o ponto
está localizado no primeiro octante, já que todas as coordenadas são positivas. Isso significa que ele está na direção positiva dos eixos
,
e
, acima do plano
.
Resposta
As coordenadas cartesianas de
são aproximadamente
. O ponto
está localizado no primeiro octante do sistema de coordenadas cartesiano, na direção positiva dos eixos
,
e
.
Exercícios relacionados
Considere o ponto
no sistema de coordenadas polares, onde
. Resolva:
b - Determine o comprimento do vetor posição em termos de suas componentes cartesianas.
b - Determine o comprimento do vetor posição
Considere um vetor
cujas componentes no sistema de coordenadas original
são
e
. Esse sistema de coordenadas é rotacionado em um ângulo
para um novo sistema
. (a) Encontre as expressões para as novas componentes
e
função das componentes originais
e
e do ângulo
. (b) Verifique que a norma de
permanece inalterada após a rotação.
Considere um ponto
representado em coordenadas esféricas por
, onde
e
.
a - Converta as coordenadas esféricas de para coordenadas cartesianas
.
a - Converta as coordenadas esféricas de
Uma superfície cilíndrica é definida por
. Com base nessas informações, resolva:
a - Determine o elemento de área da superfície lateral do cilindro.
a - Determine o elemento de área