Verifique que o operador T de V é linear e decida se ele é reflexão, projeção ou nilpotente. Determine quais das projeções e reflexões são ortogonais e quais estão relacionadas à mesma decomposição em soma direta. Desenhe todos os objetos quando V for o plano.
e) Se T(x, y)=-15(4 x+3 y, 3 x-4 y).

Passo 1

Beleza! Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um operador linear definido por no plano . Precisamos verificar se é linear, descobrir se ele é uma reflexão, uma projeção ou nilpotente. Além disso, devemos identificar quais dessas projeções e reflexões são ortogonais e quais estão relacionadas à mesma decomposição em soma direta. Por fim, vamos desenhar esses objetos no plano. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como operadores lineares, reflexões, projeções, ortogonalidade e somas diretas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é realmente um operador linear. Para isso, precisamos checar duas propriedades fundamentais:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Onde e são vetores no plano e é um escalar.

Passo 3

Vamos começar verificando a aditividade. Seja T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = -15(4(x1 + x2) + 3(y1 + y2), 3(x1 + x2) - 4(y1 + y2)) e = -15(4x1 + 4x2 + 3y1 + 3y2, 3x1 + 3x2 - 4y1 - 4y2) .
Calculando = -15(4x1 + 3y1, 3x1 - 4y1) + -15(4x2 + 3y2, 3x2 - 4y2) = T(u) + T(v) :
Distribuindo os termos:
Separando em duas partes:
Portanto, a propriedade de aditividade é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja T(cu) = T(cx, cy) = -15(4(cx) + 3(cy), 3(cx) - 4(cy)) = -15(c(4x + 3y), c(3x - 4y)) = c cdot -15(4x + 3y, 3x - 4y) = cT(u) um escalar e .
Calculando :
Assim, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Passo 5

Como satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que é um operador linear.

Passo 6

Agora, vamos determinar se é uma reflexão, uma projeção ou nilpotente.
  • Reflexão: Reflete vetores em relação a uma reta no plano. Geralmente, tem determinante .
  • Projeção: Projeta vetores sobre uma reta no plano. Tipicamente, tem determinante .
  • Nilpotente: Existe algum inteiro tal que . Isso também implica que o determinante é .
Vamos analisar a matriz associada a para identificar qual dessas categorias se encaixa.

Passo 7

A matriz de T = -15 4 & 3 3 & -4 é:
det(T) = -15 cdot -15 cdot (4 cdot (-4) - 3 cdot 3) = 125 (-16 - 9) = -2525 = -1
Vamos calcular o determinante dessa matriz:
O determinante é , o que sugere que pode ser uma reflexão.

Passo 8

Para confirmar se T^T T = I é uma reflexão, observamos que reflexões possuem determinante T^T = -15 4 & 3 3 & -4 ^T = -15 4 & 3 3 & -4 e preservam normas (são ortogonais).
Vamos verificar se a matriz de T^T T = (-15)^2 4 & 3 3 & -4 4 & 3 3 & -4 = 125 16 + 9 & 12 - 12 12 - 12 & 9 + 16 = 125 25 & 0 0 & 25 = 1 & 0 0 & 1 = I é ortogonal. Uma matriz é ortogonal se sua transposta é igual à sua inversa:
Calculando:
Multiplicando por :
Como , a matriz de é ortogonal. Portanto, é uma reflexão ortogonal.

Passo 9

Concluímos que é uma reflexão ortogonal. Não sendo uma projeção (determinante diferente de 0) nem nilpotente, ele se encaixa na categoria de reflexão devido ao seu determinante e às propriedades ortogonais.

Resposta

O operador é linear e se trata de uma reflexão ortogonal no plano.

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