Verifique que o operador
de
é linear e decida se ele é reflexão, projeção ou nilpotente. Determine quais das projeções e reflexões são ortogonais e quais estão relacionadas à mesma decomposição em soma direta. Desenhe todos os objetos quando
for o plano.
e) Se
.
e) Se
Passo 1
Beleza! Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um operador linear
definido por
no plano
. Precisamos verificar se
é linear, descobrir se ele é uma reflexão, uma projeção ou nilpotente. Além disso, devemos identificar quais dessas projeções e reflexões são ortogonais e quais estão relacionadas à mesma decomposição em soma direta. Por fim, vamos desenhar esses objetos no plano. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como operadores lineares, reflexões, projeções, ortogonalidade e somas diretas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é realmente um operador linear. Para isso, precisamos checar duas propriedades fundamentais:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Onde
e
são vetores no plano e
é um escalar.
Passo 3
Vamos começar verificando a aditividade. Seja
e
.
Calculando
:
Distribuindo os termos:
Separando em duas partes:
Portanto, a propriedade de aditividade é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja
um escalar e
.
Calculando
:
Assim, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.
Passo 5
Como
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que
é um operador linear.
Passo 6
Agora, vamos determinar se
é uma reflexão, uma projeção ou nilpotente.
- Reflexão: Reflete vetores em relação a uma reta no plano. Geralmente, tem determinante
. - Projeção: Projeta vetores sobre uma reta no plano. Tipicamente, tem determinante
. - Nilpotente: Existe algum inteiro
tal que . Isso também implica que o determinante é .
Vamos analisar a matriz associada a
para identificar qual dessas categorias
se encaixa.
Passo 7
A matriz de
é:
Vamos calcular o determinante dessa matriz:
O determinante é
, o que sugere que
pode ser uma reflexão.
Passo 8
Para confirmar se
é uma reflexão, observamos que reflexões possuem determinante
e preservam normas (são ortogonais).
Vamos verificar se a matriz de
é ortogonal. Uma matriz é ortogonal se sua transposta é igual à sua inversa:
Calculando:
Multiplicando
por
:
Como
, a matriz de
é ortogonal. Portanto,
é uma reflexão ortogonal.
Passo 9
Concluímos que
é uma reflexão ortogonal. Não sendo uma projeção (determinante diferente de 0) nem nilpotente, ele se encaixa na categoria de reflexão devido ao seu determinante
e às propriedades ortogonais.
Resposta
O operador
é linear e se trata de uma reflexão ortogonal no plano.