Verifique que o operador de é linear e decida se ele é reflexão, projeção ou nilpotente. Determine quais das projeções e reflexões são ortogonais e quais estão relacionadas à mesma decomposição em soma direta. Desenhe todos os objetos quando for o plano.
e) Se .
Passo 1
Beleza! Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um operador linear definido por no plano . Precisamos verificar se é linear, descobrir se ele é uma reflexão, uma projeção ou nilpotente. Além disso, devemos identificar quais dessas projeções e reflexões são ortogonais e quais estão relacionadas à mesma decomposição em soma direta. Por fim, vamos desenhar esses objetos no plano. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como operadores lineares, reflexões, projeções, ortogonalidade e somas diretas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é realmente um operador linear. Para isso, precisamos checar duas propriedades fundamentais:
Aditividade:
Homogeneidade:
Onde e são vetores no plano e é um escalar.
Passo 3
Vamos começar verificando a aditividade. Seja e .
Calculando :
Distribuindo os termos:
Separando em duas partes:
Portanto, a propriedade de aditividade é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja um escalar e .
Calculando :
Assim, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.
Passo 5
Como satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que é um operador linear.
Passo 6
Agora, vamos determinar se é uma reflexão, uma projeção ou nilpotente.
Reflexão: Reflete vetores em relação a uma reta no plano. Geralmente, tem determinante .
Projeção: Projeta vetores sobre uma reta no plano. Tipicamente, tem determinante .
Nilpotente: Existe algum inteiro tal que . Isso também implica que o determinante é .
Vamos analisar a matriz associada a para identificar qual dessas categorias se encaixa.
Passo 7
A matriz de é:
Vamos calcular o determinante dessa matriz:
O determinante é , o que sugere que pode ser uma reflexão.
Passo 8
Para confirmar se é uma reflexão, observamos que reflexões possuem determinante e preservam normas (são ortogonais).
Vamos verificar se a matriz de é ortogonal. Uma matriz é ortogonal se sua transposta é igual à sua inversa:
Calculando:
Multiplicando por :
Como , a matriz de é ortogonal. Portanto, é uma reflexão ortogonal.
Passo 9
Concluímos que é uma reflexão ortogonal. Não sendo uma projeção (determinante diferente de 0) nem nilpotente, ele se encaixa na categoria de reflexão devido ao seu determinante e às propriedades ortogonais.
Resposta
O operador é linear e se trata de uma reflexão ortogonal no plano.