Considere o vetor v=(1,2,3). Determine G(v), isto é, o subespaço gerado por v.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um vetor v = (1, 2, 3) e queremos determinar G(v), que é o subespaço gerado por esse vetor. Basicamente, estamos trabalhando com álgebra linear aqui, especificamente com conceitos de vetores e subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que significa um subespaço gerado por um vetor. Quando dizemos que um vetor gera um subespaço, estamos querendo dizer que qualquer vetor desse subespaço pode ser obtido multiplicando o vetor gerador por um escalar (um número real). No caso, como temos apenas um vetor, o subespaço gerado por ele será uma linha que passa pela origem e pela direção desse vetor.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso vetor v = (1, 2, 3). O subespaço gerado por v é o conjunto de todos os múltiplos escalares de v. Matemática falando, isso é representado por:
G(v) = lambda v mid lambda in R
Isso significa que qualquer vetor no subespaço G(v) pode ser escrito como lambda (1, 2, 3), onde lambda é um número real.

Passo 4

Vamos detalhar isso um pouco mais. Multiplicando o escalar lambda pelo vetor v, temos:
lambda v = lambda (1, 2, 3) = (lambda cdot 1, lambda cdot 2, lambda cdot 3) = (lambda, 2lambda, 3lambda)
Então, todo vetor no subespaço G(v) tem a forma (lambda, 2lambda, 3lambda).

Passo 5

Para resumir, o subespaço gerado pelo vetor v = (1, 2, 3) é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como múltiplos de v. Isso forma uma linha reta no espaço tridimensional que passa pela origem e segue na direção de v.

Resposta

O subespaço gerado por v = (1, 2, 3) é o conjunto de todos os vetores da forma (lambda, 2lambda, 3lambda), onde lambda é um número real. Logo,
G(v) = , (lambda, 2lambda, 3lambda) mid lambda in R ,

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