Considere o vetor . Determine , isto é, o subespaço gerado por .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um vetor e queremos determinar , que é o subespaço gerado por esse vetor. Basicamente, estamos trabalhando com álgebra linear aqui, especificamente com conceitos de vetores e subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que significa um subespaço gerado por um vetor. Quando dizemos que um vetor gera um subespaço, estamos querendo dizer que qualquer vetor desse subespaço pode ser obtido multiplicando o vetor gerador por um escalar (um número real). No caso, como temos apenas um vetor, o subespaço gerado por ele será uma linha que passa pela origem e pela direção desse vetor.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao nosso vetor . O subespaço gerado por é o conjunto de todos os múltiplos escalares de . Matemática falando, isso é representado por:
Isso significa que qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como , onde é um número real.
Passo 4
Vamos detalhar isso um pouco mais. Multiplicando o escalar pelo vetor , temos:
Então, todo vetor no subespaço tem a forma .
Passo 5
Para resumir, o subespaço gerado pelo vetor é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como múltiplos de . Isso forma uma linha reta no espaço tridimensional que passa pela origem e segue na direção de .
Resposta
O subespaço gerado por é o conjunto de todos os vetores da forma , onde é um número real. Logo,