Demonstrar que sendo u, v e w vetores dois a dois ortogonais, então |u+v+w|^2=|u|^2+|v|^2+|w|^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se os vetores u, v e w são dois a dois ortogonais (ou seja, perpendiculares entre si), então o quadrado da magnitude da soma desses vetores é igual à soma dos quadrados das magnitudes individuais. Vamos usar propriedades de vetores e produtos escalares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a magnitude de um vetor a é dada por |a| = raiza cdot a, onde cdot representa o produto escalar.

Passo 3

Queremos encontrar |u + v + w|^2. Pela definição de magnitude:
|u + v + w|^2 = (u + v + w) cdot (u + v + w)

Passo 4

Vamos expandir esse produto escalar:
(u + v + w) cdot (u + v + w) = u cdot u + u cdot v + u cdot w + v cdot u + v cdot v + v cdot w + w cdot u + w cdot v + w cdot w

Passo 5

Sabemos que u, v e w são dois a dois ortogonais. Isso significa que:
u cdot v = 0, u cdot w = 0, v cdot w = 0
Então, todos os termos como u cdot v, etc., são zero.

Passo 6

Ficando apenas com os termos não nulos:
|u + v + w|^2 = u cdot u + v cdot v + w cdot w

Passo 7

Lembrando que a cdot a = |a|^2, temos:
|u + v + w|^2 = |u|^2 + |v|^2 + |w|^2

Resposta

Portanto, demonstramos que |u+v+w|^2=|u|^2+|v|^2+|w|^2 quando os vetores são dois a dois ortogonais.

Exercícios relacionados