Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais:
e
.
Passo 1
Vamos analisar se os conjuntos
e
são subespaços vetoriais. Para isso, precisamos entender o que é um subespaço vetorial. Um subespaço vetorial de
precisa satisfazer três condições:
- Conter o vetor zero (
) - Fechado sob adição: Se você somar dois vetores do conjunto, o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar essas condições parae .
Passo 2
Verificando o conjunto
:
- Contém o vetor zero: Sim,
está em . - Fechado sob adição: Se pegarmos dois vetores quaisquer
e em , sua soma também está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Para qualquer vetor
em e qualquer escalar , o produto está em .
Como todas as condições são satisfeitas,é um subespaço vetorial.
Passo 3
Verificando o conjunto
:
- Contém o vetor zero: Vamos verificar se
está em .
Substituindona equação , temos . Então, o vetor está em , mas não .
Como o vetor zero não está em, já podemos concluir que não é um subespaço vetorial.
Mesmo que quisermos verificar as outras condições:
2. Fechado sob adição: Tomemos e
em
. Então,
e
. A soma seria
, que não satisfaz a condição original
.
3. Fechado sob multiplicação por escalar: Multiplicando por um escalar
, obtemos
, que não satisfaz
a menos que
.
2. Fechado sob adição: Tomemos
3. Fechado sob multiplicação por escalar: Multiplicando