Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: V=R^2 e S=(x, y) in R^2 mid y=4-2 x.

Passo 1

Vamos analisar se os conjuntos e são subespaços vetoriais. Para isso, precisamos entender o que é um subespaço vetorial. Um subespaço vetorial de precisa satisfazer três condições:
  1. Conter o vetor zero ( )
  2. Fechado sob adição: Se você somar dois vetores do conjunto, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
    Vamos verificar essas condições para e .

Passo 2

Verificando o conjunto :
  1. Contém o vetor zero: Sim, está em .
  2. Fechado sob adição: Se pegarmos dois vetores quaisquer e em , sua soma também está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Para qualquer vetor em e qualquer escalar , o produto está em .
    Como todas as condições são satisfeitas, é um subespaço vetorial.

Passo 3

Verificando o conjunto :
  1. Contém o vetor zero: Vamos verificar se está em .
    Substituindo na equação , temos . Então, o vetor está em , mas não .
    Como o vetor zero não está em , já podemos concluir que não é um subespaço vetorial.
Mesmo que quisermos verificar as outras condições:
2. Fechado sob adição: Tomemos e em . Então, e . A soma seria , que não satisfaz a condição original .
3. Fechado sob multiplicação por escalar: Multiplicando por um escalar , obtemos , que não satisfaz a menos que .

Resposta

é um subespaço vetorial, mas não é um subespaço vetorial de .

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