Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais:
e
.
Passo 1
Vamos verificar se os conjuntos
e
são subespaços vetoriais. Para isso, precisamos entender o que é um subespaço vetorial e quais condições ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, um subespaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de ser parte de um espaço vetorial maior (como
), também satisfaz três condições importantes:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição (a soma de dois vetores no conjunto também está no conjunto).
- É fechado sob multiplicação por escalar (multiplicar um vetor por um número real mantém o vetor no conjunto).
Vamos verificar essas condições para cada conjunto.
Passo 3
Vamos começar com o conjunto
.
Passo 4
-
Contém o vetor zero: O vetor zero em
é . Ele está claramente em . -
Fechado sob adição: Se pegarmos dois vetores quaisquer em
, digamos e , a soma deles é . Como a soma de números reais é real, também está em . -
Fechado sob multiplicação por escalar: Se pegarmos um vetor
em e um escalar , a multiplicação por escalar é . Como é real, também está em .
Passo 5
Como todas as três condições são atendidas, concluímos que
é realmente um subespaço vetorial.
Passo 6
Agora, vamos analisar o conjunto
.
Passo 7
-
Contém o vetor zero: Se
, então . Portanto, está em . -
Fechado sob adição: Pegue dois vetores em
, digamos e , onde e . A soma é . Como o segundo componente é sempre o dobro do primeiro, a soma também está em . -
Fechado sob multiplicação por escalar: Pegue um vetor
em e um escalar . A multiplicaç��o por escalar é . Novamente, o segundo componente é o dobro do primeiro, então está em .
Resposta
Tanto
quanto
são subespaços vetoriais.