Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: e .

Passo 1

Vamos verificar se os conjuntos e são subespaços vetoriais. Para isso, precisamos entender o que é um subespaço vetorial e quais condições ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, um subespaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de ser parte de um espaço vetorial maior (como ), também satisfaz três condições importantes:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição (a soma de dois vetores no conjunto também está no conjunto).
  3. É fechado sob multiplicação por escalar (multiplicar um vetor por um número real mantém o vetor no conjunto).
Vamos verificar essas condições para cada conjunto.

Passo 3

Vamos começar com o conjunto .

Passo 4

  1. Contém o vetor zero: O vetor zero em é . Ele está claramente em .
  2. Fechado sob adição: Se pegarmos dois vetores quaisquer em , digamos e , a soma deles é . Como a soma de números reais é real, também está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se pegarmos um vetor em e um escalar , a multiplicação por escalar é . Como é real, também está em .

Passo 5

Como todas as três condições são atendidas, concluímos que é realmente um subespaço vetorial.

Passo 6

Agora, vamos analisar o conjunto .

Passo 7

  1. Contém o vetor zero: Se , então . Portanto, está em .
  2. Fechado sob adição: Pegue dois vetores em , digamos e , onde e . A soma é . Como o segundo componente é sempre o dobro do primeiro, a soma também está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Pegue um vetor em e um escalar . A multiplicaç��o por escalar é . Novamente, o segundo componente é o dobro do primeiro, então está em .

Resposta

Tanto quanto são subespaços vetoriais.

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