Veri que se as seguintes retas são paralelas, concorrentes ou reversas. Se possível determine a equação do plano que contém as duas retas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas retas definidas por equações paramétricas, e queremos descobrir se elas são paralelas, concorrentes (ou seja, se elas se cruzam) ou reversas (que não são nem paralelas nem concorrentes). Se elas forem coplanares (estiverem no mesmo plano), também vamos tentar achar a equação desse plano.
As equações das retas são:
Reta 1:
Reta 2:
Vamos precisar entender vetores diretores das retas, verificar se são paralelas, se elas se cruzam e, se sim, encontrar o ponto de interseção. Também precisamos saber como encontrar a equação de um plano que contenha duas retas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. O vetor diretor é aquele que mostra a direção da reta e é obtido pelos coeficientes dos parâmetros nas equações paramétricas.
Para a Reta 1, o vetor diretor é:
Para a Reta 2, o vetor diretor é:
Note que na Reta 2, o coeficiente de é zero porque é constante, ou seja, a reta está paralela ao plano .
Passo 3
Agora, vamos verificar se as retas são paralelas. Duas retas são paralelas se seus vetores diretores são proporcionais, ou seja, se existe um escalar tal que:
Vamos comparar os componentes:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, , o que não é verdade. Além disso, a terceira equação não faz sentido (). Portanto, os vetores diretores não são proporcionais, e as retas não são paralelas.
Passo 4
Como as retas não são paralelas, agora vamos verificar se elas são concorrentes, ou seja, se existe um ponto que pertence às duas retas simultaneamente.
Para isso, igualamos as equações paramétricas das duas retas e resolvemos o sistema para encontrar valores de e que satisfaçam todas as equações.
Temos:
Vamos resolver passo a passo.
Passo 5
Começamos pela equação (3):
Agora que encontramos , substituímos esse valor na equação (1) para encontrar :
Agora, vamos verificar se esses valores satisfazem a equação (2):
Isso não é verdade. Portanto, não existe um ponto que pertence às duas retas simultaneamente. Assim, as retas não são concorrentes.
Passo 6
Já que as retas não são paralelas nem concorrentes, elas são reversas. Isso significa que as retas não estão no mesmo plano e não se cruzam.
Passo 7
Como as retas são reversas, ou seja, não são coplanares, não é possível determinar um plano que contenha ambas as retas.
Resposta
As retas são reversas, ou seja, não são paralelas nem concorrentes. Portanto, não existe um plano que contenha ambas as retas.