Considere o vetor . Determine: Um vetor ortogonal a e com módulo 2 .

Passo 1

Beleza, temos o vetor e a missão é encontrar outro vetor que seja ortogonal a ele e que tenha um módulo (comprimento) igual a 2. Para isso, vamos usar dois conceitos principais: vetores ortogonais e módulo de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser ortogonal. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for igual a zero. O produto escalar de e é dado por:
Queremos que .

Passo 3

Uma maneira fácil de encontrar um vetor ortogonal em duas dimensões é trocar as posições dos componentes do vetor original e mudar o sinal de um deles. Então, a partir de , um vetor que é ortogonal a ele seria ou .
Vamos escolher para continuar.

Passo 4

Agora, precisamos ajustar o módulo desse vetor para que seja igual a 2. Primeiro, calculamos o módulo atual de :

Passo 5

Para que o vetor tenha módulo 2, vamos normalizar (ou seja, transformar seu módulo em 1) e depois multiplicar pelo 2.
A normalização de é:
Multiplicando pelo 2:
Para deixar mais elegante, podemos racionalizar o denominador:

Resposta

Um vetor ortogonal a com módulo 2 é .

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