Determine os valores de a para que os pontos A = (a + 1, 1), B = (3, a + 1) e C = (5, 4) sejam colineares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa descobrir quais valores de fazem com que os pontos , e estejam na mesma linha, ou seja, sejam colineares. Para isso, vamos usar o conceito de inclinação das retas e igualar as inclinações entre os pares de pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a inclinação (coeficiente angular) de uma reta que passa por dois pontos. A fórmula é:
Onde é a inclinação, e e são os pontos.

Passo 3

Vamos calcular a inclinação da reta que passa por e . Usando as coordenadas de e :

Passo 4

Agora, vamos calcular a inclinação da reta que passa por e . Usando as coordenadas de e :

Passo 5

Para os pontos serem colineares, as inclinações e devem ser iguais. Então, igualamos as duas expressões:

Passo 6

Vamos resolver essa equação para encontrar . Primeiro, multiplicamos os denominadores:

Passo 7

Reorganizamos a equação para formar um polinômio igual a zero:

Passo 8

Agora, resolvemos a equação quadrática . Podemos fatorar:
Então, ou .

Resposta

Os valores de que tornam os pontos , e colineares são e .

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