Considere os vetores
. Apresente um vetor dentre esses que é combinação linear dos demais. Escreva esse vetor com combinação linear dos demais de cinco maneiras diferentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos cinco vetores no espaço tridimensional: (10,10,3), (3,-1,-1), (4,8,1), (1,2,1) e (7,7,0). O objetivo é encontrar qual desses vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros e mostrar cinco maneiras diferentes de fazer isso.
Conteúdo da matéria: Combinação linear de vetores.
O que precisamos: Entender o que é combinação linear e como resolver sistemas de equações para encontrar os coeficientes que combinam os vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é combinação linear. Um vetor v é uma combinação linear de outros vetores se ele pode ser escrito como v = a*v₁ + b*v₂ + c*v₃ + …, onde a, b, c, etc., são números reais.
Vamos escolher o vetor (10,10,3) para expressar como combinação linear dos outros quatro vetores.
Passo 3
Vamos chamar os vetores de:
- v₁ = (10,10,3)
- v₂ = (3,-1,-1)
- v₃ = (4,8,1)
- v₄ = (1,2,1)
- v₅ = (7,7,0)
Queremos encontrar coeficientes a, b, c e d tais que:
v₁ = a*v₂ + b*v₃ + c*v₄ + d*v₅
Isso se traduz no sistema de equações:
10 = 3a + 4b + 1c + 7d
10 = -1a + 8b + 2c + 7d
3 = -1a + 1b + 1c + 0d
Passo 4
Vamos resolver esse sistema para encontrar valores de a, b, c e d.
Equação 3:
-1a + 1b + 1c = 3
Podemos isolar a:
a = b + c - 3
Passo 5
Agora, substituímos a nas Equações 1 e 2.
Equação 1:
10 = 3(b + c - 3) + 4b + c + 7d
10 = 3b + 3c - 9 + 4b + c + 7d
10 = 7b + 4c + 7d - 9
19 = 7b + 4c + 7d
Equação 2:
10 = -1(b + c - 3) + 8b + 2c + 7d
10 = -b - c + 3 + 8b + 2c + 7d
10 = 7b + c + 7d + 3
7 = 7b + c + 7d
Passo 6
Agora temos duas equações com três variáveis:
- 19 = 7b + 4c + 7d
- 7 = 7b + c + 7d
Vamos subtrair a Equação 2 da Equação 1 para simplificar:
19 - 7 = (7b - 7b) + (4c - c) + (7d - 7d)
12 = 3c
Então,
c = 4
Passo 7
Substituímos c = 4 na Equação 2:
7 = 7b + 4 + 7d
7b + 7d = 3
Podemos dividir toda a equação por 7:
b + d = 3/7
Ou,
b = (3/7) - d
Passo 8
Agora, substituímos b e c na expressão de a:
a = b + c - 3
a = ((3/7) - d) + 4 - 3
a = (3/7) - d + 1
a = (10/7) - d
Passo 9
Agora, temos:
- a = (10/7) - d
- b = (3/7) - d
- c = 4
- d = d (pode ser qualquer valor real)
Como d é livre, podemos escolher diferentes valores para d e obter diferentes combinações lineares.
Passo 10
Vamos escolher cinco valores diferentes para d e calcular a e b correspondentes.
Combinação 1: Escolha d = 0
- a = (10/7) - 0 = 10/7
- b = (3/7) - 0 = 3/7
- c = 4
- d = 0
Então,
v₁ = (10/7)v₂ + (3/7)v₃ + 4v₄ + 0v₅
Combinação 2: Escolha d = 1
- a = (10/7) - 1 = 3/7
- b = (3/7) - 1 = -4/7
- c = 4
- d = 1
Então,
v₁ = (3/7)v₂ + (-4/7)v₃ + 4v₄ + 1v₅
Combinação 3: Escolha d = 2
- a = (10/7) - 2 = -4/7
- b = (3/7) - 2 = -11/7
- c = 4
- d = 2
Então,
v₁ = (-4/7)v₂ + (-11/7)v₃ + 4v₄ + 2v₅
Combinação 4: Escolha d = -1
- a = (10/7) - (-1) = 17/7
- b = (3/7) - (-1) = 10/7
- c = 4
- d = -1
Então,
v₁ = (17/7)v₂ + (10/7)v₃ + 4v₄ + (-1)v₅
Combinação 5: Escolha d = 3
- a = (10/7) - 3 = -11/7
- b = (3/7) - 3 = -18/7
- c = 4
- d = 3
Então,
v₁ = (-11/7)v₂ + (-18/7)v₃ + 4v₄ + 3v₅
Resposta
O vetor (10,10,3) pode ser expresso como combinação linear dos demais vetores de cinco maneiras diferentes:
- (10,10,3) = (10/7)v₂ + (3/7)v₃ + 4v₄ + 0v₅
- (10,10,3) = (3/7)v₂ + (-4/7)v₃ + 4v₄ + 1v₅
- (10,10,3) = (-4/7)v₂ + (-11/7)v₃ + 4v₄ + 2v₅
- (10,10,3) = (17/7)v₂ + (10/7)v₃ + 4v₄ + (-1)v₅
- (10,10,3) = (-11/7)v₂ + (-18/7)v₃ + 4v₄ + 3v₅