Quais dos seguintes conjuntos de vetores sâo bases de R^3 ? Justifique sua resposta (2,-3,0),(3,1,2),(1,0,2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente descobrir quais conjuntos de vetores formam uma base do espaço tridimensional R^3. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base e verificar se os vetores dados satisfazem os critérios necessários.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é uma base. Em termos simples, uma base de um espaço vetorial como R^3 é um conjunto de vetores que:
  1. São linearmente independentes: Nenhum vetor da base pode ser escrito como combinação linear dos outros.
  2. Geram o espaço: Qualquer vetor em R^3 pode ser formado combinando esses vetores.
Se essas duas condições forem satisfeitas, então o conjunto de vetores forma uma base.

Passo 3

Agora, vamos verificar se os vetores dados (2, -3, 0), (3, 1, 2) e (1, 0, 2) são linearmente independentes. Uma maneira fácil de fazer isso é organizar esses vetores em uma matriz e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Vamos montar a matriz com esses vetores como colunas:
2 & 3 & 1 -3 & 1 & 0 0 & 2 & 2

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. A fórmula do determinante para uma matriz 3 times 3 é:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A) = 2(1 cdot 2 - 0 cdot 2) - 3(-3 cdot 2 - 0 cdot 0) + 1(-3 cdot 2 - 1 cdot 0)
Simplificando:
det(A) = 2(2 - 0) - 3(-6 - 0) + 1(-6 - 0) = 4 + 18 - 6 = 16

Resposta

Como o determinante é 16, que é diferente de zero, os vetores (2, -3, 0), (3, 1, 2) e (1, 0, 2) são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de R^3.

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