Quais dos seguintes conjuntos de vetores sâo bases de ? Justifique sua resposta ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente descobrir quais conjuntos de vetores formam uma base do espaço tridimensional . Para isso, vamos precisar entender o que é uma base e verificar se os vetores dados satisfazem os critérios necessários.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é uma base. Em termos simples, uma base de um espaço vetorial como é um conjunto de vetores que:
São linearmente independentes: Nenhum vetor da base pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Geram o espaço: Qualquer vetor em pode ser formado combinando esses vetores.
Se essas duas condições forem satisfeitas, então o conjunto de vetores forma uma base.
Passo 3
Agora, vamos verificar se os vetores dados , e são linearmente independentes. Uma maneira fácil de fazer isso é organizar esses vetores em uma matriz e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Vamos montar a matriz com esses vetores como colunas:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. A fórmula do determinante para uma matriz 3 times 3 é:
Como o determinante é 16, que é diferente de zero, os vetores (2, -3, 0), (3, 1, 2) e (1, 0, 2)são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de R^3.