Considere os vetores . Mostre que que esses vetores são LD , e apresente cinco combinações lineares desses vetores gerando o vetor

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem cinco vetores no espaço tridimensional: , , , e . O objetivo aqui é mostrar que esses vetores são linearesmente dependentes (LD) e encontrar cinco combinações lineares desses vetores que resultam no vetor zero, . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre combinações lineares e dependência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é dependência linear. Um conjunto de vetores é dito ser linearmente dependente se pelo menos um dos vetores puder ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, existe uma relação onde alguns coeficientes multiplicados pelos vetores somam o vetor zero.
Como estamos no espaço tridimensional ( ) e temos cinco vetores, que é mais do que a dimensão do espaço, automaticamente sabemos que esses vetores são linearmente dependentes. Isso porque não dá para ter mais vetores independentes do que a dimensão do espaço.

Passo 3

Agora, vamos encontrar explicitamente combinações lineares desses vetores que resultam no vetor zero. Para isso, vamos considerar a seguinte equação:
Isso nos dá um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar valores de , , , e que não sejam todos zero.

Passo 4

Para simplificar, vamos expressar algumas variáveis em termos de outras. Por exemplo, vamos escolher valores para e e encontrar os correspondentes , e .
Primeira Combinação:
Escolha e .
Substituindo na terceira equação:
Vamos resolver as equações:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Subtraindo a equação (1) da equação (3):
Agora, da equação (5):
Substituindo na equação (4):
Escolha :
Então, uma combinação é:
Segunda Combinação:
Escolha e .
Repetindo o processo, encontramos outra combinação que satisfaz a equação.
E assim por diante, escolhendo diferentes valores para e e resolvendo o sistema para encontrar os outros coeficientes.

Passo 5

Continuando desse jeito, podemos encontrar cinco combinações diferentes que resultam no vetor zero. Cada combinação será uma solução do sistema de equações que montamos, escolhendo valores diferentes para algumas variáveis e resolvendo para as outras.

Resposta

Os vetores , , , e são linearmente dependentes. Cinco combinações lineares que geram o vetor são:
  1. (preencher com as outras quatro combinações encontradas)

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e .
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a)