Mostre que
não é diagonalizável.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos mostrar que a matriz
não é diagonalizável. Isso está relacionado ao conteúdo de autovalores e autovetores, que são fundamentais para entender se uma matriz pode ser diagonalizada. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores da matriz e verificar se existe um número suficiente de autovetores linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores são os valores de
que satisfazem a equação característica
, onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Calculamos
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Passo 5
Igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
Então, o único autovalor de
é
com multiplicidade algébrica 2.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os autovetores associados a
. Para isso, resolvemos a equação
:
Isso resulta na equação
.
Passo 7
A solução geral para os autovetores é então
livre e
, ou seja, qualquer vetor da forma
, onde
é um número real.
Passo 8
Observamos que todos os autovetores são múltiplos do vetor
. Isso significa que há apenas um autovetor linearmente independente para o autovalor
.
Passo 9
Para que uma matriz seja diagonalizável, o número de autovetores linearmente independentes deve ser igual à dimensão da matriz. Como nossa matriz é 2x2, precisamos de dois autovetores independentes, mas só temos um.
Resposta
Portanto, como a matriz
possui apenas um autovetor linearmente independente e não atende ao requisito de ter o número suficiente de autovetores para diagonalização, concluímos que
não é diagonalizável.
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e
.