Mostre que A=(ll1 & 1 0 & 1) não é diagonalizável.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos mostrar que a matriz 1 & 1 0 & 1 não é diagonalizável. Isso está relacionado ao conteúdo de autovalores e autovetores, que são fundamentais para entender se uma matriz pode ser diagonalizada. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores da matriz e verificar se existe um número suficiente de autovetores linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Calculamos A - lambda I = 1 - lambda & 1 0 & 1 - lambda :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda) - (0 times 1) = (1 - lambda)^2

Passo 5

Igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
(1 - lambda)^2 = 0 implies lambda = 1
Então, o único autovalor de é com multiplicidade algébrica 2.

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores associados a 0 & 1 0 & 0 v1 v2 = 0 0 . Para isso, resolvemos a equação :
Isso resulta na equação .

Passo 7

A solução geral para os autovetores é então v1 0 livre e , ou seja, qualquer vetor da forma , onde é um número real.

Passo 8

Observamos que todos os autovetores são múltiplos do vetor 1 0. Isso significa que há apenas um autovetor linearmente independente para o autovalor .

Passo 9

Para que uma matriz seja diagonalizável, o número de autovetores linearmente independentes deve ser igual à dimensão da matriz. Como nossa matriz é 2x2, precisamos de dois autovetores independentes, mas só temos um.

Resposta

Portanto, como a matriz 1 & 1 0 & 1 possui apenas um autovetor linearmente independente e não atende ao requisito de ter o número suficiente de autovetores para diagonalização, concluímos que não é diagonalizável.

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