Seja o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo igual a 2. Mostre que para todo , temos que formam uma base de .
Passo 1
Então, temos que provar que para qualquer número real , os polinômios , e formam uma base do conjunto , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Basicamente, vamos ver se esses três polinômios são suficientes para “gerar” qualquer polinômio de segundo grau e se eles são “independentes” uns dos outros, usando conceitos de Álgebra Linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma base de um espaço vetorial precisa atender a duas condições: os vetores (ou polinômios, no nosso caso) devem ser linearmente independentes e gerar todo o espaço. No caso de , como é um espaço de dimensão 3, precisamos de exatamente 3 polinômios que cumpram essas condições.
Passo 3
Vamos começar verificando se os polinômios são linearmente independentes. Para isso, assumimos que uma combinação linear deles dá o polinômio zero:
Queremos mostrar que as únicas soluções para , e são .
Passo 4
Vamos expandir :
Substituindo na combinação linear:
Simplificando:
Passo 5
Para que esse polinômio seja zero para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
Como já vimos que , a segunda equação dá . Substituindo ambos na terceira equação, temos .
Passo 6
Como é a única solução, os polinômios são linearmente independentes.
Passo 7
Como temos três polinômios linearmente independentes em um espaço de dimensão 3 (), eles também geram todo o espaço. Portanto, , e formam uma base de .
Resposta
Para todo , os polinômios , e formam uma base de .