Seja P<= 2 o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo igual a 2. Mostre que para todo t in R, temos que 1,(x+t),(x+t)^2 formam uma base de P<= 2.

Passo 1

Então, temos que provar que para qualquer número real , os polinômios , e formam uma base do conjunto , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Basicamente, vamos ver se esses três polinômios são suficientes para “gerar” qualquer polinômio de segundo grau e se eles são “independentes” uns dos outros, usando conceitos de Álgebra Linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma base de um espaço vetorial precisa atender a duas condições: os vetores (ou polinômios, no nosso caso) devem ser linearmente independentes e gerar todo o espaço. No caso de , como é um espaço de dimensão 3, precisamos de exatamente 3 polinômios que cumpram essas condições.

Passo 3

Vamos começar verificando se os polinômios são linearmente independentes. Para isso, assumimos que uma combinação linear deles dá o polinômio zero:
a cdot 1 + b cdot (x + t) + c cdot (x + t)^2 = 0
Queremos mostrar que as únicas soluções para , e são .

Passo 4

Vamos expandir (x + t)^2 = x^2 + 2tx + t^2 :
a + b(x + t) + c(x^2 + 2tx + t^2) = 0
Substituindo na combinação linear:
c x^2 + (b + 2c t)x + (a + b t + c t^2) = 0
Simplificando:

Passo 5

Para que esse polinômio seja zero para todo c = 0 b + 2c t = 0 a + b t + c t^2 = 0 , os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
Como já vimos que , a segunda equação dá . Substituindo ambos na terceira equação, temos .

Passo 6

Como é a única solução, os polinômios são linearmente independentes.

Passo 7

Como temos três polinômios linearmente independentes em um espaço de dimensão 3 ( ), eles também geram todo o espaço. Portanto, , e formam uma base de .

Resposta

Para todo , os polinômios , e formam uma base de .

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