Seja o subespaço de gerado pelas matrizes . Determine o subespaço gerado , em seguida, verifique se .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um subespaço do conjunto de todas as matrizes , denotado por . Esse subespaço é gerado por três matrizes específicas:
Queremos fazer duas coisas:
  1. Determinar todas as matrizes que pertencem a (ou seja, descrever o subespaço ).
  2. Verificar se a matriz
está dentro de .
Para resolver isso, vamos precisar entender combinações lineares de matrizes e como verificar se uma matriz pode ser expressa como tal combinação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que é gerado por . Isso quer dizer que qualquer matriz em pode ser escrita como uma combinação linear dessas três matrizes. Ou seja,
onde são números reais (escalares).
Vamos escrever isso mais explicitamente:
Então, todo em tem a forma:

Passo 3

Agora, para determinar o subespaço , vamos identificar todas as matrizes que podem ser escritas dessa forma. Observamos que:
  • A primeira coluna sempre tem o primeiro elemento zero e o segundo elemento , e o terceiro elemento .
  • A segunda coluna depende de e .
Portanto, é o conjunto de todas as matrizes onde:
Isso significa que qualquer matriz em pode ser obtida escolhendo valores apropriados para .

Passo 4

Agora, vamos verificar se a matriz está em . Queremos encontrar se existem tais que:
Isso nos dá um sistema de equações:
  1. (da posição (1,2))
  2. (da posição (2,1))
  3. (da posição (2,2))
  4. (da posição (3,1))

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo:
  • Da equação 4:
  • Substituindo na equação 1:
  • Da equação 2:
  • Substituindo e na equação 3:

Passo 6

Observamos que a equação 3 resulta em uma contradição ( ). Isso significa que não existe um conjunto de escalares que satisfaça todas as equações simultaneamente. Portanto, a matriz não pertence ao subespaço .

Resposta

A matriz não está no subespaço .

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d)
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Encontre as coordenadas do vetor de em relação as seguintes bases: