Seja o subespaço de gerado pelas matrizes . Determine o subespaço gerado , em seguida, verifique se .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um subespaço do conjunto de todas as matrizes , denotado por . Esse subespaço é gerado por três matrizes específicas:
Queremos fazer duas coisas:
Determinar todas as matrizes que pertencem a (ou seja, descrever o subespaço ).
Verificar se a matriz
está dentro de .
Para resolver isso, vamos precisar entender combinações lineares de matrizes e como verificar se uma matriz pode ser expressa como tal combinação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que é gerado por . Isso quer dizer que qualquer matriz em pode ser escrita como uma combinação linear dessas três matrizes. Ou seja,
onde são números reais (escalares).
Vamos escrever isso mais explicitamente:
Então, todo em tem a forma:
Passo 3
Agora, para determinar o subespaço , vamos identificar todas as matrizes que podem ser escritas dessa forma. Observamos que:
A primeira coluna sempre tem o primeiro elemento zero e o segundo elemento , e o terceiro elemento .
A segunda coluna depende de e .
Portanto, é o conjunto de todas as matrizes onde:
Isso significa que qualquer matriz em pode ser obtida escolhendo valores apropriados para .
Passo 4
Agora, vamos verificar se a matriz está em . Queremos encontrar se existem tais que:
Isso nos dá um sistema de equações:
(da posição (1,2))
(da posição (2,1))
(da posição (2,2))
(da posição (3,1))
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações passo a passo:
Da equação 4:
Substituindo na equação 1:
Da equação 2:
Substituindo e na equação 3:
Passo 6
Observamos que a equação 3 resulta em uma contradição (). Isso significa que não existe um conjunto de escalares que satisfaça todas as equações simultaneamente. Portanto, a matriz não pertence ao subespaço .