Considere os vetores (1,2,-1,3),(2,1,10,3),(3,-1,-1,0),(4,8,1,1) em R^4. Mostre que vetores v1, v2, ldots, vr in R^4 com r >= 5 são sempre LD.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear que pede para mostrar que qualquer conjunto de vetores em com pelo menos 5 vetores é sempre linearmente dependente (LD). Para isso, vamos usar conceitos de dimensão de espaços vetoriais e dependência linear. Precisaremos entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente e a relação entre o número de vetores e a dimensão do espaço onde eles estão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é dependência linear. Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Ou seja, existe uma combinação onde alguns coeficientes são diferentes de zero que resulta no vetor nulo.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a dimensão de um espaço vetorial. A dimensão de é 4, o que significa que o maior número de vetores que podem ser linearmente independentes nesse espaço é 4. Isso acontece porque, em , qualquer conjunto de mais de 4 vetores necessariamente terá vetores que podem ser escritos como combinação linear dos outros.

Passo 4

Como estamos trabalhando em , e a dimensão desse espaço é 4, qualquer conjunto de 5 ou mais vetores ( ) estará acima da dimensão do espaço. De acordo com o Teorema da Dimensão, isso garante que esses vetores são linearmente dependentes.

Passo 5

Portanto, não importa quais sejam os vetores em , como há mais vetores do que a dimensão do espaço (5 > 4), eles sempre serão linearmente dependentes.

Resposta

Qualquer conjunto de vetores em é sempre linearmente dependente.

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