Determine o ponto simétrico do ponto (4,1,6) em relação à reta
L:l x-y-4 z+12=0 2 x+y-2 z+3=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto que é simétrico do ponto x - y - 4z + 12 = 0 2x + y - 2z + 3 = 0 em relação a uma reta dada pelas duas equações:
Isso está dentro do conteúdo de Geometria Analítica no espaço. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar o ponto simétrico em relação a uma reta, o que envolve encontrar a projeção do ponto sobre a reta e usar vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar uma direção para a reta x - y - 4z + 12 = 0 2x + y - 2z + 3 = 0 . Como a reta está definida por duas equações lineares, podemos resolver o sistema para encontrar uma direção.
Vamos resolver o sistema:
(x - y - 4z + 12) + (2x + y - 2z + 3) = 0 Rightarrow 3x - 6z + 15 = 0 Rightarrow x = 2z - 5
Podemos somar as duas equações para eliminar (2t - 5) - y - 4t + 12 = 0 Rightarrow -2t + 7 - y = 0 Rightarrow y = -2t + 7 :
x = 2t - 5 y = -2t + 7 z = t
Escolhendo , temos .
Substituindo e na primeira equação para encontrar :
Então, a parametrização da reta é:
A direção da reta é o vetor diretor .

Passo 3

Agora, para encontrar o ponto simétrico de em relação à reta , precisamos seguir alguns passos:
  1. Encontrar a projeção do vetor na direção da reta .
  2. Calcular a diferença entre e sua projeção para achar o vetor perpendicular à reta.
  3. Dobrar esse vetor perpendicular e adicionar à projeção para obter , que representa o ponto simétrico.
Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 4

Primeiro, representamos o ponto Projd OP = ( OP cdot dd cdot d ) d como vetor 4 times 2 + 1 times (-2) + 6 times 1 = 8 - 2 + 6 = 12 .
A direção da reta 2^2 + (-2)^2 + 1^2 = 4 + 4 + 1 = 9 é Projd OP = ( 129 ) d = ( 43 ) (2, -2, 1) = ( 83, -83, 43 ) .
A fórmula para a projeção de em é:
Calculando o produto escalar :
E :
Então, a projeção é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o vetor perpendicular v = OP - Projd OP = (4, 1, 6) - ( 83, -83, 43 ) = (4 - 83, 1 + 83, 6 - 43) que é a diferença entre v = ( 123 - 83, 33 + 83, 183 - 43 ) = ( 43, 113, 143 ) e sua projeção:
Calculando as diferenças:

Passo 6

Para obter o ponto simétrico OP' = Projd OP + v times 2 = ( 83, -83, 43 ) + 2 times ( 43, 113, 143 ) = ( 83 + 83, -83 + 223, 43 + 283 ) , precisamos dobrar o vetor perpendicular OP' = ( 163, 143, 323 ) e adicioná-lo à projeção:
Somando as componentes:

Resposta

O ponto simétrico de em relação à reta é .

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