Considere os vetores de . Mostre que esses vetores são LI.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que você trouxe envolve Vetores e Independência Linear na matemática. A gente tem três vetores no espaço e precisa mostrar que eles são Linearmente Independentes (LI). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem LI e usar um método para verificar essa independência passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é independência linear. Três vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, se tivermos:
A única solução para , e deve ser .
Passo 3
Vamos montar essa combinação linear com os vetores que temos:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. A ideia é encontrar os valores de , e que satisfazem todas as equações simultaneamente. Usaremos o método de eliminação para simplificar.
Passo 5
Primeiro, vamos simplificar as primeiras duas equações para eliminar uma variável. Vamos multiplicar a primeira equação por 3 e subtrair a segunda equação:
Vamos agora simplificar as primeiras e terceiras equações para eliminar 4(a - 2b + 5c) = 0 4a - 8b + 20c = 0 (Equação 6) . Multiplicamos a primeira equação por 4 e a terceira por 1: