Considere os vetores v1=(1,3,4,2), v2=(-2,-4,7,5), v3=(5,6,5,6) de R^4. Mostre que esses vetores são LI.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que você trouxe envolve Vetores e Independência Linear na matemática. A gente tem três vetores no espaço e precisa mostrar que eles são Linearmente Independentes (LI). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem LI e usar um método para verificar essa independência passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é independência linear. Três vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, se tivermos:
a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 = 0
A única solução para , e deve ser .

Passo 3

Vamos montar essa combinação linear com os vetores que temos:
a cdot (1, 3, 4, 2) + b cdot (-2, -4, 7, 5) + c cdot (5, 6, 5, 6) = (0, 0, 0, 0)
Isso nos dá um sistema de equações:
a - 2b + 5c = 0 3a - 4b + 6c = 0 4a + 7b + 5c = 0 2a + 5b + 6c = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. A ideia é encontrar os valores de , e que satisfazem todas as equações simultaneamente. Usaremos o método de eliminação para simplificar.

Passo 5

Primeiro, vamos simplificar as primeiras duas equações para eliminar uma variável. Vamos multiplicar a primeira equação por 3 e subtrair a segunda equação:
3(a - 2b + 5c) - (3a - 4b + 6c) = 0 - 0 3a - 6b + 15c - 3a + 4b - 6c = 0 -2b + 9c = 0
Isso nos dá uma nova equação:
-2b + 9c = 0 (Equação 5) çã

Passo 6

Vamos agora simplificar as primeiras e terceiras equações para eliminar 4(a - 2b + 5c) = 0 4a - 8b + 20c = 0 (Equação 6) . Multiplicamos a primeira equação por 4 e a terceira por 1:
(4a - 8b + 20c) - (4a + 7b + 5c) = 0 - 0 -15b + 15c = 0 çã
Agora, subtraímos a terceira equação original:
-15b + 15c = 0 - b + c = 0 (Equação 7)
Simplificando:
çã

Passo 7

Agora, temos duas equações com -2b + 9c = 0 (Equação 5) - b + c = 0 (Equação 7) e - b + c = 0 Rightarrow b = c :
-2c + 9c = 0 7c = 0 c = 0 çãçã
Da Equação 7, podemos expressar em termos de :
Substituindo na Equação 5:
Então, , e como , também .

Passo 8

Agora que sabemos que a - 2(0) + 5(0) = 0 a = 0 e , vamos substituir esses valores na primeira equação original para encontrar :

Resposta

Portanto, a única solução para a combinação linear é , o que significa que os vetores , e são Linearmente Independentes.

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