Mostre que se os vetores v1, v2, ldots, vn são LD então existe um vetor dentre esses vetores que pode ser escrito como combinação linear dos demais.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma lista de vetores v1, v2, ldots, vn que são linearmente dependentes (LD). Isso significa que pelo menos um desses vetores pode ser escrito como uma combinação dos outros. Nosso objetivo é provar justamente isso: que existe um vetor na lista que pode ser expresso como uma combinação linear dos demais. Para resolver, vamos precisar entender o que significa ser linearmente dependente e como manipular combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de vetores v1, v2, ldots, vn é uma expressão do tipo:
onde os coeficientes a1v1 + a2v2 + ldots + anvn = 0 são números (escalares).

Passo 3

Como os vetores são linearmente dependentes, isso significa que existe uma combinação linear não trivial (ou seja, pelo menos um dos coeficientes ai não é zero) que resulta no vetor zero. Ou seja, existe pelo menos um conjunto de coeficientes a1, a2, ldots, an, não todos zero, tal que:

Passo 4

Vamos assumir, sem perda de generalidade, que an neq 0. Isso significa que o coeficiente do último vetor vn é diferente de zero. A partir dessa equação, podemos isolar vn:

Passo 5

Agora, dividindo ambos os lados da equação por an (que é diferente de zero), temos:
vn = -a1anv1 - a2anv2 - ldots - an-1anvn-1
Isso mostra que o vetor vn pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores v1, v2, ldots, vn-1.

Resposta

Portanto, mostramos que se os vetores v1, v2, ldots, vn são linearmente dependentes, existe pelo menos um vetor na lista (como vn) que pode ser escrito como combinação linear dos demais vetores.

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