Mostre que se os vetores
são LD então existe um vetor dentre esses vetores que pode ser escrito como combinação linear dos demais.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma lista de vetores
que são linearmente dependentes (LD). Isso significa que pelo menos um desses vetores pode ser escrito como uma combinação dos outros. Nosso objetivo é provar justamente isso: que existe um vetor na lista que pode ser expresso como uma combinação linear dos demais. Para resolver, vamos precisar entender o que significa ser linearmente dependente e como manipular combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de vetores
é uma expressão do tipo:
onde os coeficientes
são números (escalares).
Passo 3
Como os vetores são linearmente dependentes, isso significa que existe uma combinação linear não trivial (ou seja, pelo menos um dos coeficientes
não é zero) que resulta no vetor zero. Ou seja, existe pelo menos um conjunto de coeficientes
, não todos zero, tal que:
Passo 4
Vamos assumir, sem perda de generalidade, que
. Isso significa que o coeficiente do último vetor
é diferente de zero. A partir dessa equação, podemos isolar
:
Passo 5
Agora, dividindo ambos os lados da equação por
(que é diferente de zero), temos:
Isso mostra que o vetor
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
.
Resposta
Portanto, mostramos que se os vetores
são linearmente dependentes, existe pelo menos um vetor na lista (como
) que pode ser escrito como combinação linear dos demais vetores.