Use determinantes para achar todos os valores de a e b, tais que a matriz A seja invertível
A=[ccc a & -1 & 3 -1 & -2 & b 0 & 1 & -3 ]

Passo 1

Beleza, então vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz que depende de dois valores, e . A pergunta quer saber para quais valores de e essa matriz é invertível. O conteúdo que vamos usar aqui é o de determinantes, que nos ajuda a saber se uma matriz tem ou não inversa. Basicamente, se o determinante da matriz for diferente de zero, ela é invertível.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A = a & -1 & 3 -1 & -2 & b 0 & 1 & -3 . A matriz é det(A) = a cdot det -2 & b 1 & -3 - (-1) cdot det -1 & b 0 & -3 + 3 cdot det -1 & -2 0 & 1 , então usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores para encontrar o determinante. Vamos usar a expansão pela primeira linha para facilitar.
A matriz é:
O determinante de ( ) é calculado assim:

Passo 3

Agora, vamos calcular os determinantes das matrizes det -2 & b 1 & -3 = (-2)(-3) - (b)(1) = 6 - b que apareceram na fórmula:
  1. Para a primeira parte:
det -1 & b 0 & -3 = (-1)(-3) - (b)(0) = 3 - 0 = 3
  1. Para a segunda parte:
det -1 & -2 0 & 1 = (-1)(1) - (-2)(0) = -1 - 0 = -1
  1. Para a terceira parte:

Passo 4

Substituindo esses valores de volta na fórmula do determinante:
det(A) = a cdot (6 - b) - (-1) cdot 3 + 3 cdot (-1) = a(6 - b) + 3 - 3
Simplificando:
det(A) = a(6 - b)

Passo 5

Para a matriz a(6 - b) neq 0 ser invertível, o determinante precisa ser diferente de zero:
Isso significa que nem nem podem ser iguais a zero.

Resposta

Os valores de e que tornam a matriz invertível são aqueles onde e .

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