Sya ume transformacioo linear com maAriz ypare B=e1, e2, bese canânice do R^2, e B^prime=(1,0,1),(-2,0,1),(e, 1,0), base do R^3. Ouale imagem do vetor (2,-3) pela T ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear representada por uma matriz em relação às bases dadas. Nosso objetivo é encontrar a imagem do vetor através dessa transformação. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a matriz da transformação linear e como trabalhar com diferentes bases.
Passo 2
Primeiro, como [T]B^prime^B = 1 & -1 0 & 1 -2 & 3 é uma transformação linear, podemos representá-la por uma matriz que nos ajuda a transformar vetores de para . A matriz dada é:
Aqui, é a base canônica de , ou seja, , onde e . A base de é dada por .
Passo 3
O próximo passo é representar o vetor v = 2e1 - 3e2 = 2 -3 na base . Como é a base canônica, isso significa que o vetor já está representado nos coordenados padrão. Então, podemos escrever:
Passo 4
Agora, para encontrar a imagem de [T(v)]B^prime = [T]B^prime^B cdot v = 1 & -1 0 & 1 -2 & 3 2 -3 pela transformação , usamos a matriz da transformação. Multiplicamos a matriz pelo vetor :
Porém, esse resultado está na base T(v) = 5(1,0,1) + (-3)(-2,0,1) + (-13)(e,1,0) . Para encontrar a imagem de no espaço padrão , precisamos expressar esse vetor em termos da base . Ou seja, fazemos uma combinação linear dos vetores de com os coeficientes obtidos:
Passo 7
Realizando as multiplicações e soma das componentes: