Sya T: R^2 R^3 ume transformacioo linear com maAriz [T]B^prime^beta=[rr1 & -1 0 & 1 -2 & 3] ypare B=e1, e2, bese canânice do R^2, e B^prime=(1,0,1),(-2,0,1),(e, 1,0), base do R^3. Ouale imagem do vetor (2,-3) pela T ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear representada por uma matriz em relação às bases dadas. Nosso objetivo é encontrar a imagem do vetor através dessa transformação. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a matriz da transformação linear e como trabalhar com diferentes bases.

Passo 2

Primeiro, como [T]B^prime^B = 1 & -1 0 & 1 -2 & 3 é uma transformação linear, podemos representá-la por uma matriz que nos ajuda a transformar vetores de para . A matriz dada é:
Aqui, é a base canônica de , ou seja, , onde e . A base de é dada por .

Passo 3

O próximo passo é representar o vetor v = 2e1 - 3e2 = 2 -3 na base . Como é a base canônica, isso significa que o vetor já está representado nos coordenados padrão. Então, podemos escrever:

Passo 4

Agora, para encontrar a imagem de [T(v)]B^prime = [T]B^prime^B cdot v = 1 & -1 0 & 1 -2 & 3 2 -3 pela transformação , usamos a matriz da transformação. Multiplicamos a matriz pelo vetor :

Passo 5

Vamos fazer a multiplicação das matrizes:

[
1 cdot 2 + (-1) cdot (-3) 0 cdot 2 + 1 cdot (-3) -2 cdot 2 + 3 cdot (-3) = 2 + 3 0 - 3 -4 - 9 = 5 -3 -13

5 -3 -13


]
Então, .

Passo 6

Porém, esse resultado está na base T(v) = 5(1,0,1) + (-3)(-2,0,1) + (-13)(e,1,0) . Para encontrar a imagem de no espaço padrão , precisamos expressar esse vetor em termos da base . Ou seja, fazemos uma combinação linear dos vetores de com os coeficientes obtidos:

Passo 7

Realizando as multiplicações e soma das componentes:
T(v) = (5 cdot 1, 5 cdot 0, 5 cdot 1) + (-3 cdot -2, -3 cdot 0, -3 cdot 1) + (-13 cdot e, -13 cdot 1, -13 cdot 0)
= (5, 0, 5) + (6, 0, -3) + (-13e, -13, 0)
= (5 + 6 - 13e, 0 + 0 - 13, 5 - 3 + 0)
= (11 - 13e, -13, 2)

Resposta

A imagem do vetor pela transformação é .

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