Considere os vetores v=(12, 0), w=(34,-15), t=imath+3 jmath e s=(-2, 110).
Determine o vetor u de modo que o vetor resultante na expressão R=u+v-2 w+43 t-5 s seja o vetor nulo.
u=(-313,-3910) u=(2,5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre vetores e nos pede para encontrar o vetor de forma que, quando combinamos com outros vetores usando certas operações (como adição e multiplicação por escalares), o vetor resultante seja o vetor nulo, ou seja, .
Conteúdo da matéria: Combinação linear de vetores e resolução de equações vetoriais.
O que vamos precisar:
  • Conhecimento sobre como somar vetores e multiplicar vetores por escalares.
  • Habilidade para resolver sistemas de equações lineares simples.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão dada no enunciado:
R = u + v - 2w + 43t - 5s
Sabemos que deve ser o vetor nulo . Nosso objetivo é encontrar que satisfaça essa equação.

Passo 3

Vamos substituir os vetores v = (12, 0), w = (34, -15), t = (1, 3), s = (-2, 110) , R = u + (12, 0) - 2(34, -15) + 43(1, 3) - 5(-2, 110) , e pelos seus valores:
Agora, substituindo na expressão de :

Passo 4

Vamos calcular cada termo:
  1. -2 times (34, -15) = (-32, 25) :
43 times (1, 3) = (43, 4)
  1. -5 times (-2, 110) = (10, -12) :
  1. :

Passo 5

Agora, somamos todos os vetores:
R = u + (12, 0) + (-32, 25) + (43, 4) + (10, -12)
Vamos somar as componentes x e y separadamente:
Componente x:
ux + 12 - 32 + 43 + 10
Componente y:
uy + 0 + 25 + 4 - 12

Passo 6

Como ux + 12 - 32 + 43 + 10 = 0 deve ser uy + 25 + 4 - 12 = 0 , temos o seguinte sistema de equações:
  1. Para a componente x:
  1. Para a componente y:
Vamos resolver cada uma.

Passo 7

Resolvendo a componente x:
ux + (12 - 32) + 43 + 10 = 0
ux - 1 + 43 + 10 = 0
ux + 13 + 10 = 0
ux = -10 - 13 = -313
Resolvendo a componente y:
uy + 25 + 4 - 12 = 0
uy + 25 + 82 - 12 = 0
uy + 25 + 72 = 0
uy = -25 - 72 = -410 - 3510 = -3910

Resposta

Portanto, o vetor u = ( -313, -3910 ) que satisfaz a condição dada é:
Dessa forma, a alternativa correta é .

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