Considere os vetores
e
.
Determine o vetor
de modo que o vetor resultante na expressão
seja o vetor nulo.
Determine o vetor
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre vetores e nos pede para encontrar o vetor
de forma que, quando combinamos
com outros vetores usando certas operações (como adição e multiplicação por escalares), o vetor resultante
seja o vetor nulo, ou seja,
.
Conteúdo da matéria: Combinação linear de vetores e resolução de equações vetoriais.
O que vamos precisar:
- Conhecimento sobre como somar vetores e multiplicar vetores por escalares.
- Habilidade para resolver sistemas de equações lineares simples.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a expressão dada no enunciado:
Sabemos que
deve ser o vetor nulo
. Nosso objetivo é encontrar
que satisfaça essa equação.
Passo 3
Vamos substituir os vetores
,
,
e
pelos seus valores:
Agora, substituindo na expressão de
:
Passo 4
Vamos calcular cada termo:
-
:
-
:
-
:
Passo 5
Agora, somamos todos os vetores:
Vamos somar as componentes x e y separadamente:
Componente x:
Componente y:
Passo 6
Como
deve ser
, temos o seguinte sistema de equações:
- Para a componente x:
- Para a componente y:
Vamos resolver cada uma.
Passo 7
Resolvendo a componente x:
Resolvendo a componente y:
Resposta
Portanto, o vetor
que satisfaz a condição dada é:
Dessa forma, a alternativa correta é
.