Determine todos os parâmetros a e b de modo que a matriz A seja diagonalizável.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma matriz A = 1 & 0 & 0 a & 2 & 0 0 & b & 2 dada por:
Queremos descobrir os valores dos parâmetros e que tornam essa matriz diagonalizável. Para isso, vamos precisar entender sobre diagonalização de matrizes, que envolve encontrar os autovalores e autovetores da matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação caracterísica:
Onde é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos calcular A - lambda I = 1 - lambda & 0 & 0 a & 2 - lambda & 0 0 & b & 2 - lambda :
Para a matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica de cada autovalor deve ser igual à sua multiplicidade algébrica. Isso significa que precisamos verificar se existem autovetores suficientes para cada autovalor.
Passo 6
Vamos começar com A - I = 0 & 0 & 0 a & 1 & 0 0 & b & 1 . Precisamos encontrar o espaço nulo de :
Resolvendo , vemos que existe um autovetor associado a .
Passo 7
Agora, vamos para A - 2I = -1 & 0 & 0 a & 0 & 0 0 & b & 0 . O espaço nulo de é:
Queremos que a multiplicidade geométrica seja 2, igual à multiplicidade algébrica. Para isso, o posto de deve ser 1, ou seja, precisamos que duas linhas sejam múltiplas umas das outras ou nulas.
Passo 8
Analisando , observamos que para que o posto seja 1, os seguintes requisitos devem ser atendidos:
O elemento deve ser zero, ou seja, .
O elemento deve ser zero, ou seja, .
Isso garante que as linhas não adicionem mais restrições, mantendo a multiplicidade geométrica igual à algébrica.
Resposta
Os parâmetros que tornam a matriz diagonalizável são e .