Questão 6 A matriz A é diagonalizável. Justifique:
Determine uma matriz M, inversivel tal que e M^-1 A M seja diagonal.
Passo 1
Vamos analisar a matriz dada e verificar se ela é diagonalizável. Diagonalizar uma matriz significa encontrar uma matriz invertível tal que seja uma matriz diagonal. Para isso, vamos precisar calcular os autovalores e autovetores de . Autovalores são valores especiais que satisfazem a equação , e autovetores são os vetores associados a esses autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A - lambda I = 3 - lambda & -1 & -1 -6 & 1 - lambda & 2 2 & 1 & -lambda . Para isso, calculamos o determinante da matriz det(A - lambda I) = (3 - lambda)[(1 - lambda)(-lambda) - 2 cdot 1] - (-1)[ -6 cdot (-lambda) - 2 cdot 2 ] + (-1)[ -6 cdot 1 - (1 - lambda) cdot 2 ] e igualamos a zero: