Considere os vetores A=(1,3,-1) e B=(1,2,3). Calcule: a área do paralelogramo determinado por A e B.
Represente os vetores geometricamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional, e . O objetivo é calcular a área do paralelogramo formado por esses vetores. Para isso, vamos usar o conceito de produto vetorial, que nos ajuda a encontrar uma nova força que é perpendicular aos dois vetores originais. Precisamos entender como calcular o produto vetorial e depois encontrar o seu módulo (tamanho) para determinar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial de A times B = i & j & k 1 & 3 & -1 1 & 2 & 3 e A times B = i(3 cdot 3 - (-1) cdot 2) - j(1 cdot 3 - (-1) cdot 1) + k(1 cdot 2 - 3 cdot 1) , que é representado por A times B = i(9 + 2) - j(3 + 1) + k(2 - 3) . O produto vetorial de dois vetores em três dimensões é calculado usando uma matriz determinante:
A times B = 11,i - 4,j - 1,k
Expandindo essa matriz, temos:
Simplificando os cálculos dentro dos parênteses:
Então:
Portanto, o produto vetorial é o vetor .

Passo 3

Agora que temos o produto vetorial, vamos calcular o módulo desse vetor para encontrar a área do paralelogramo. A fórmula para o módulo de um vetor | C | = raizc1^2 + c2^2 + c3^2 é:
| A times B | = raiz11^2 + (-4)^2 + (-1)^2 = raiz121 + 16 + 1 = raiz138
Aplicando isso ao nosso produto vetorial :
Então, a área do paralelogramo é unidades quadradas.

Passo 4

Para representar os vetores geometricamente, imagine um espaço tridimensional onde o vetor parte da origem e vai até o ponto (1, 3, -1), e o vetor também parte da origem e vai até o ponto (1, 2, 3). O paralelogramo é formado por esses dois vetores como lados adjacentes. Visualmente, você pode imaginar dois vetores saindo do mesmo ponto e formando um “paralelepípedo” plano.

Resposta

A área do paralelogramo determinado pelos vetores e é unidades quadradas.

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