Considere os vetores e . Calcule: a área do paralelogramo determinado por e .
Represente os vetores geometricamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional, e . O objetivo é calcular a área do paralelogramo formado por esses vetores. Para isso, vamos usar o conceito de produto vetorial, que nos ajuda a encontrar uma nova força que é perpendicular aos dois vetores originais. Precisamos entender como calcular o produto vetorial e depois encontrar o seu módulo (tamanho) para determinar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial de e , que é representado por . O produto vetorial de dois vetores em três dimensões é calculado usando uma matriz determinante:
Expandindo essa matriz, temos:
Simplificando os cálculos dentro dos parênteses:
Então:
Portanto, o produto vetorial é o vetor .
Passo 3
Agora que temos o produto vetorial, vamos calcular o módulo desse vetor para encontrar a área do paralelogramo. A fórmula para o módulo de um vetor | C | = raizc1^2 + c2^2 + c3^2 é:
| A times B | = raiz11^2 + (-4)^2 + (-1)^2 = raiz121 + 16 + 1 = raiz138
Aplicando isso ao nosso produto vetorial :
Então, a área do paralelogramo é unidades quadradas.
Passo 4
Para representar os vetores geometricamente, imagine um espaço tridimensional onde o vetor parte da origem e vai até o ponto (1, 3, -1), e o vetor também parte da origem e vai até o ponto (1, 2, 3). O paralelogramo é formado por esses dois vetores como lados adjacentes. Visualmente, você pode imaginar dois vetores saindo do mesmo ponto e formando um “paralelepípedo” plano.
Resposta
A área do paralelogramo determinado pelos vetores e é unidades quadradas.