Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços vetoriais de :
A pergunta quer que a gente mostre que . Isso significa que todo vetor em pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de e um vetor de . Para provar isso, vamos precisar entender sobre soma direta de subespaços, resolver sistemas de equações e verificar se a interseção dos subespaços é apenas o vetor nulo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que:
Soma dos Subespaços (W₁ + W₂): Todo vetor em pode ser escrito como , onde e .
Interseção trivial (W₁ ∩ W₂ = {0}): O único vetor que está nos dois subespaços é o vetor zero.
Vamos verificar essas duas condições.
Passo 3
Primeira condição: Soma dos Subespaços
Vamos mostrar que qualquer vetor pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de .
Suponha que:
onde e .
Sabemos que:
Então, temos o sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema para encontrar x2 = y2 Rightarrow y2 = x2 .
Da última equação:
y1 + x2 = b Rightarrow y1 = b - x2
Agora, substituímos 2x1 + 3y1 = 0 Rightarrow 2x1 + 3(b - x2) = 0 na segunda equação:
Isso mostra que podemos escrever qualquer como a soma de um vetor de e um vetor de .
Passo 5
Segunda condição: Interseção Trivial
Agora precisamos verificar se a interseção 2x + 3y = 0 e x - y = 0 contém apenas o vetor zero.
Ou seja, queremos encontrar todos os vetores que estão em x = y e em 2x + 3x = 0 Rightarrow 5x = 0 Rightarrow x = 0 .
Se y = x = 0 , então:
W1 cap W2 = (0, 0)
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, o único vetor na interseção é o vetor zero:
Resposta
Como verificamos que qualquer vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de , e que a interseção desses subespaços é apenas o vetor zero, concluímos que .