Sejam W1=(x, y) in R^2 ; 2 x+3 y=0 e W2=(x, y) in R^2 ; x-y=0 subespaços vetoriais de R^2. Mostre que R^2=W1 oplus W2.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços vetoriais de :
A pergunta quer que a gente mostre que . Isso significa que todo vetor em pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de e um vetor de . Para provar isso, vamos precisar entender sobre soma direta de subespaços, resolver sistemas de equações e verificar se a interseção dos subespaços é apenas o vetor nulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que:
  1. Soma dos Subespaços (W₁ + W₂): Todo vetor em pode ser escrito como , onde e .
  2. Interseção trivial (W₁ ∩ W₂ = {0}): O único vetor que está nos dois subespaços é o vetor zero.
Vamos verificar essas duas condições.

Passo 3

Primeira condição: Soma dos Subespaços
Vamos mostrar que qualquer vetor (a, b) = (x1, y1) + (x2, y2) pode ser escrito como a soma de um vetor de W1: 2x1 + 3y1 = 0 e W2: x2 - y2 = 0 e um vetor de x1 + x2 = a y1 + y2 = b 2x1 + 3y1 = 0 x2 - y2 = 0 .
Suponha que:
onde e .
Sabemos que:
Então, temos o sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para encontrar x2 = y2 Rightarrow y2 = x2 .
Da última equação:
y1 + x2 = b Rightarrow y1 = b - x2
Agora, substituímos 2x1 + 3y1 = 0 Rightarrow 2x1 + 3(b - x2) = 0 na segunda equação:
2x1 + 3b - 3x2 = 0 Rightarrow 2x1 = 3x2 - 3b Rightarrow x1 = 3x2 - 3b2
E da terceira equação:
x1 + x2 = a Rightarrow 3x2 - 3b2 + x2 = a
3x2 - 3b + 2x2 = 2a Rightarrow 5x2 - 3b = 2a
Agora, usamos a primeira equação:
5x2 = 2a + 3b Rightarrow x2 = 2a + 3b5
Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:
y2 = x2 = 2a + 3b5
y1 = b - x2 = b - 2a + 3b5 = 5b - 2a - 3b5 = 2b - 2a5 = 2(b - a)5
Então,
x1 = 3x2 - 3b2 = 3(2a + 3b5) - 3b2 = 6a + 9b5 - 3b2 = 6a + 9b - 15b52 = 6a - 6b10 = 6(a - b)10 = 3(a - b)5
(x1, y1) = ( 3(a - b)5, 2(b - a)5 ) in W1
(x2, y2) = ( 2a + 3b5, 2a + 3b5 ) in W2
Então, temos:
Isso mostra que podemos escrever qualquer como a soma de um vetor de e um vetor de .

Passo 5

Segunda condição: Interseção Trivial
Agora precisamos verificar se a interseção 2x + 3y = 0 e x - y = 0 contém apenas o vetor zero.
Ou seja, queremos encontrar todos os vetores que estão em x = y e em 2x + 3x = 0 Rightarrow 5x = 0 Rightarrow x = 0 .
Se y = x = 0 , então:
W1 cap W2 = (0, 0)
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, o único vetor na interseção é o vetor zero:

Resposta

Como verificamos que qualquer vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de , e que a interseção desses subespaços é apenas o vetor zero, concluímos que .

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