Os vetores que geram o plano são L.I? Qual a dimensão desse plano? Isto é, qual é a dimensão do subespaço ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se os vetores que geram o plano são linearmente independentes (L.I.) e determinar a dimensão desse plano, ou seja, a dimensão do subespaço . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como vetores geradores, independência linear e dimensão de subespaços.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os vetores que geram o plano . Esse plano é definido por uma equação linear em , então ele é um subespaço vetorial de .
Para encontrar os vetores geradores, vamos expressar uma das variáveis em função das outras. Por exemplo, podemos expressar em termos de e :
Assim, qualquer vetor no plano pode ser escrito como:
Então, os vetores que geram o plano são e .
Passo 3
Agora, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando ambos os coeficientes são zero.
Então, consideramos:
Substituindo os vetores:
Isso nos dá o sistema de equações:
As duas primeiras equações já nos dizem que e . Portanto, a única solução é trivial, o que significa que e são linearmente independentes.
Passo 4
Agora, sobre a dimensão do plano . A dimensão de um subespaço vetorial é o número de vetores em uma base desse subespaço. Como encontramos dois vetores linearmente independentes que geram o plano, isso significa que a dimensão de é 2.
Resposta
Os vetores que geram o plano são linearmente independentes e a dimensão desse plano é 2.