Os vetores que geram o plano x+2 y-z=0 são L.I? Qual a dimensão desse plano? Isto é, qual é a dimensão do subespaço S=(x, y, z) in R^3 mid x+2 y-z=0?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se os vetores que geram o plano são linearmente independentes (L.I.) e determinar a dimensão desse plano, ou seja, a dimensão do subespaço . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como vetores geradores, independência linear e dimensão de subespaços.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os vetores que geram o plano z = x + 2y . Esse plano é definido por uma equação linear em (x, y, z) = (x, y, x + 2y) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 2) , então ele é um subespaço vetorial de .
Para encontrar os vetores geradores, vamos expressar uma das variáveis em função das outras. Por exemplo, podemos expressar em termos de e :
Assim, qualquer vetor no plano pode ser escrito como:
Então, os vetores que geram o plano são e .

Passo 3

Agora, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando ambos os coeficientes são zero.
Então, consideramos:
av1 + bv2 = 0
Substituindo os vetores:
a(1, 0, 1) + b(0, 1, 2) = (0, 0, 0)
Isso nos dá o sistema de equações:
a = 0 b = 0 a + 2b = 0
As duas primeiras equações já nos dizem que e . Portanto, a única solução é trivial, o que significa que e são linearmente independentes.

Passo 4

Agora, sobre a dimensão do plano . A dimensão de um subespaço vetorial é o número de vetores em uma base desse subespaço. Como encontramos dois vetores linearmente independentes que geram o plano, isso significa que a dimensão de é 2.

Resposta

Os vetores que geram o plano são linearmente independentes e a dimensão desse plano é 2.

Exercícios relacionados