Sejam 4 pontos no espaço, A=(1,-1,2), B=(3,2,1), C=(2,1,-1) e D=(1,0,3).
Verifique se são coplanares.
SugesTÃo: Analise se os vetores A B, A C e A D são l.i. ou i.d. e conclua.

Passo 1

Beleza, então a gente tem quatro pontos no espaço: , , e . A pergunta é pra saber se esses quatro pontos estão todos no mesmo plano, ou seja, se são coplanares. Pra resolver isso, a gente vai usar um conceito de álgebra linear chamado linearmente independente e linearmente dependente. Basicamente, se os vetores formados por eles são dependentes, então os pontos estão no mesmo plano.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os vetores que ligam o ponto para os outros pontos: , e .

Passo 3

Agora, vamos montar uma matriz com esses três vetores e calcular o determinante. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes, ou seja, estão no mesmo plano.
A matriz fica assim:
2 & 3 & -1 1 & 2 & -3 0 & 1 & 1
Calculando o determinante:
det = 2 cdot (2 cdot 1 - (-3) cdot 1) - 3 cdot (1 cdot 1 - (-3) cdot 0) + (-1) cdot (1 cdot 1 - 2 cdot 0)
det = 2 cdot (2 + 3) - 3 cdot (1 - 0) + (-1) cdot (1 - 0)
det = 2 cdot 5 - 3 cdot 1 -1 cdot 1 = 10 - 3 -1 = 6

Passo 4

Como o determinante é diferente de zero ( ), isso significa que os vetores , e são linearmente independentes. Ou seja, eles não estão todos no mesmo plano.

Resposta

Os quatro pontos , , e não são coplanares.

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