Verifique se W=A in M2(R) ; A^2=A é ou não um subespaço vetorial de M2(R).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Isso está no contexto de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e propriedades de matrizes. Para resolver, vamos precisar lembrar o que define um subespaço vetorial e como verificar essas propriedades passo a passo.

Passo 2

Primeiro, precisamos confirmar se A = 0 & 0 0 & 0 não está vazio. Em termos simples, isso significa que existe pelo menos uma matriz em A^2 = A cdot A = 0 & 0 0 & 0 cdot 0 & 0 0 & 0 = 0 & 0 0 & 0 = A . Vamos pensar na matriz nula, que é uma matriz onde todos os elementos são zero:
Vamos verificar se pertence a :
Então, a matriz nula está em , o que mostra que não está vazio.

Passo 3

Agora, vamos verificar se (A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 = A + AB + BA + B é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes quaisquer A + AB + BA + B = A + B implies AB + BA = 0 e em , a soma também deve estar em . Sabemos que e . Vamos calcular :
Para que esteja em , precisamos que . Isso implica que:
Mas nem sempre para matrizes idempotentes e . Portanto, a soma de duas matrizes em nem sempre resulta em uma matriz também em .

Passo 4

Por fim, vamos verificar se (cA)^2 = cA cdot cA = c^2A^2 = c^2A é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se c^2A = cA implies (c^2 - c)A = 0 está em e é um número real qualquer, então também deve estar em . Sabemos que . Vamos calcular :
Para que esteja em , precisamos que , ou seja:
Isso só é verdadeiro para todo se , ou seja, ou . Para outros valores de , não pertence a .

Resposta

Como não é fechado nem sob adição nem sob multiplicação por escalar, concluímos que não é um subespaço vetorial de .

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