Verifique se
é ou não um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Isso está no contexto de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e propriedades de matrizes. Para resolver, vamos precisar lembrar o que define um subespaço vetorial e como verificar essas propriedades passo a passo.
Passo 2
Primeiro, precisamos confirmar se
não está vazio. Em termos simples, isso significa que existe pelo menos uma matriz em
. Vamos pensar na matriz nula, que é uma matriz onde todos os elementos são zero:
Vamos verificar se
pertence a
:
Então, a matriz nula está em
, o que mostra que
não está vazio.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes quaisquer
e
em
, a soma
também deve estar em
. Sabemos que
e
. Vamos calcular
:
Para que
esteja em
, precisamos que
. Isso implica que:
Mas nem sempre
para matrizes idempotentes
e
. Portanto, a soma de duas matrizes em
nem sempre resulta em uma matriz também em
.
Passo 4
Por fim, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se
está em
e
é um número real qualquer, então
também deve estar em
. Sabemos que
. Vamos calcular
:
Para que
esteja em
, precisamos que
, ou seja:
Isso só é verdadeiro para todo
se
, ou seja,
ou
. Para outros valores de
,
não pertence a
.
Resposta
Como
não é fechado nem sob adição nem sob multiplicação por escalar, concluímos que
não é um subespaço vetorial de
.