Considere os vetores a e b que formam ângulos thetaa e thetab com o eixo x. Demonstre que:
a cdot b=|a||b| cos phi onde phi=|thetaa-thetab|

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois vetores, a e b, que fazem ângulos thetaa e thetab com o eixo x. Nosso objetivo aqui é mostrar que o produto escalar desses vetores pode ser expresso como:
a cdot b = |a||b| cos phi onde phi = |thetaa - thetab|
Para isso, vamos precisar entender como calcular o produto escalar entre dois vetores usando suas componentes e também como relacionar os ângulos que eles formam com o eixo x.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor no plano pode ser representado em termos de suas componentes nas direções dos eixos x e y. Então, podemos escrever os vetores a e b da seguinte forma:
a = |a| costhetaa , x + |a| sinthetaa , y
b = |b| costhetab , x + |b| sinthetab , y
Aqui, |a| e |b| são as magnitudes dos vetores, e thetaa e são os ângulos que cada vetor forma com o eixo thetab.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar a cdot b. O produto escalar entre dois vetores é dado pela soma dos produtos das suas componentes correspondentes:
a cdot b = (ax cdot bx) + (ay cdot by)
Substituindo as componentes que encontramos anteriormente:
a cdot b = (|a| costhetaa cdot |b| costhetab) + (|a| sinthetaa cdot |b| sinthetab)

Passo 4

Vamos fatorar as magnitudes dos vetores, já que elas estão presentes em todas as parcelas:
a cdot b = |a||b| ( costhetaa costhetab + sinthetaa sinthetab )
Esse termo dentro dos parênteses é uma identidade trigonométrica conhecida como a fórmula do cosseno da diferença entre dois ângulos:
cos(thetaa - thetab) = costhetaa costhetab + sinthetaa sinthetab

Passo 5

Substituindo a identidade trigonométrica na expressão do produto escalar:
a cdot b = |a||b| cos(thetaa - thetab)
Como estamos interessados no ângulo entre os vetores, que é sempre positivo, podemos escrever:
phi = | thetaa - thetab |
Então, a expressão fica:
a cdot b = |a||b| cos phi

Resposta

Portanto, demonstramos que:
a cdot b = |a||b| cos phi onde phi = |thetaa - thetab|

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