Considere os vetores
e
que formam ângulos
e
com o eixo
. Demonstre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois vetores,
e
, que fazem ângulos
e
com o eixo
. Nosso objetivo aqui é mostrar que o produto escalar desses vetores pode ser expresso como:
Para isso, vamos precisar entender como calcular o produto escalar entre dois vetores usando suas componentes e também como relacionar os ângulos que eles formam com o eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor no plano pode ser representado em termos de suas componentes nas direções dos eixos
e
. Então, podemos escrever os vetores
e
da seguinte forma:
Aqui,
e
são as magnitudes dos vetores, e
e são os ângulos que cada vetor forma com o eixo
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar
. O produto escalar entre dois vetores é dado pela soma dos produtos das suas componentes correspondentes:
Substituindo as componentes que encontramos anteriormente:
Passo 4
Vamos fatorar as magnitudes dos vetores, já que elas estão presentes em todas as parcelas:
Esse termo dentro dos parênteses é uma identidade trigonométrica conhecida como a fórmula do cosseno da diferença entre dois ângulos:
Passo 5
Substituindo a identidade trigonométrica na expressão do produto escalar:
Como estamos interessados no ângulo entre os vetores, que é sempre positivo, podemos escrever:
Então, a expressão fica:
Resposta
Portanto, demonstramos que: