Considere os vetores e que formam ângulos e com o eixo . Demonstre que:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois vetores, e , que fazem ângulos e com o eixo . Nosso objetivo aqui é mostrar que o produto escalar desses vetores pode ser expresso como:
Para isso, vamos precisar entender como calcular o produto escalar entre dois vetores usando suas componentes e também como relacionar os ângulos que eles formam com o eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor no plano pode ser representado em termos de suas componentes nas direções dos eixos e . Então, podemos escrever os vetores e da seguinte forma:
Aqui, e são as magnitudes dos vetores, e e são os ângulos que cada vetor forma com o eixo .

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar . O produto escalar entre dois vetores é dado pela soma dos produtos das suas componentes correspondentes:
Substituindo as componentes que encontramos anteriormente:

Passo 4

Vamos fatorar as magnitudes dos vetores, já que elas estão presentes em todas as parcelas:
Esse termo dentro dos parênteses é uma identidade trigonométrica conhecida como a fórmula do cosseno da diferença entre dois ângulos:

Passo 5

Substituindo a identidade trigonométrica na expressão do produto escalar:
Como estamos interessados no ângulo entre os vetores, que é sempre positivo, podemos escrever:
Então, a expressão fica:

Resposta

Portanto, demonstramos que:

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