Considere os vetores canônicos do R^3, i=(1,0,0), j=(0,1,0) e k=(0,0,1). Verifique que:
i times k=-j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que nos pede para verificar que o produto vetorial entre os vetores canônicos e no espaço resulta em . Aqui, estamos trabalhando com produto vetorial de vetores no espaço tridimensional. Para isso, vamos lembrar como calcular o produto vetorial entre dois vetores usando as coordenadas deles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é o produto vetorial na prática. Se temos dois vetores a times b = ( a2b3 - a3b2, , a3b1 - a1b3, , a1b2 - a2b1 ) e , o produto vetorial é dado por:

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes dos vetores i = (1, 0, 0) e k = (0, 0, 1) e . Sabemos que:

Passo 4

Aplicando a fórmula do produto vetorial, substituímos os valores de i times k = ( (0)(1) - (0)(0), , (0)(0) - (1)(1), , (1)(0) - (0)(0) ) e :

Passo 5

Vamos calcular cada componente separadamente:
  • Primeira componente:
0 times 1 - 0 times 0 = 0 - 0 = 0
  • Segunda componente:
0 times 0 - 1 times 1 = 0 - 1 = -1
  • Terceira componente:
1 times 0 - 0 times 0 = 0 - 0 = 0

Passo 6

Assim, o produto vetorial fica:
i times k = (0, -1, 0)

Passo 7

Observamos que o vetor i times k = -j é igual a , já que . Portanto:

Resposta

i times k = -j

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