Considere os vetores canônicos do e . Verifique que:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que nos pede para verificar que o produto vetorial entre os vetores canônicos e no espaço resulta em . Aqui, estamos trabalhando com produto vetorial de vetores no espaço tridimensional. Para isso, vamos lembrar como calcular o produto vetorial entre dois vetores usando as coordenadas deles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é o produto vetorial na prática. Se temos dois vetores e , o produto vetorial é dado por:

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes dos vetores e . Sabemos que:

Passo 4

Aplicando a fórmula do produto vetorial, substituímos os valores de e :

Passo 5

Vamos calcular cada componente separadamente:
  • Primeira componente:
  • Segunda componente:
  • Terceira componente:

Passo 6

Assim, o produto vetorial fica:

Passo 7

Observamos que o vetor é igual a , já que . Portanto:

Resposta

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Dados os vetores e , calcular:
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Seja a transformação linear definida por . Determine uma base de constituída de autovetores de . Qual a representação matricial de nessa base?