Dados os vetores u=(2,-1,1), v=(1,-1,0) e w=(-1,2,2), calcular:
(u times v) cdot w

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o produto escalar entre o produto vetorial de u e v, e o vetor w. Estamos lidando com produto vetorial e produto escalar, que são conceitos da álgebra vetorial. Para resolver isso, vamos precisar primeiro encontrar o produto vetorial de u e v, e depois fazer o produto escalar desse resultado com w.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial de u e v. O produto vetorial de dois vetores em 3D é dado pela seguinte matriz:
u times v = i & j & k 2 & -1 & 1 1 & -1 & 0
Resolvendo a matriz:
u times v = i cdot ((-1)(0) - (1)(-1)) - j cdot ((2)(0) - (1)(1)) + k cdot ((2)(-1) - (-1)(1))
= i cdot (0 + 1) - j cdot (0 - 1) + k cdot (-2 + 1)
= i cdot 1 + j cdot 1 + k cdot (-1)
= (1, 1, -1)
Então, u × v = (1, 1, -1).

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar desse resultado com o vetor w. O produto escalar entre dois vetores a = (a₁, a₂, a₃) e b = (b₁, b₂, b₃) é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Aplicando isso aos vetores u × v = (1, 1, -1) e w = (-1, 2, 2):
(1, 1, -1) cdot (-1, 2, 2) = (1 times -1) + (1 times 2) + (-1 times 2)
= -1 + 2 - 2
= -1

Resposta

O valor de (u times v) cdot w é -1.

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