Seja a transformação linear definida por . Determine uma base de constituída de autovetores de . Qual a representação matricial de nessa base?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A parada é a seguinte: temos uma transformação linear definida por . A gente precisa achar uma base de que seja formada por autovetores de e depois descobrir qual é a matriz dessa transformação nessa base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um autovetor. Um autovetor de uma transformação linear é um vetor não nulo que, quando é aplicado a ele, o resultado é apenas esse vetor multiplicado por um escalar (o autovalor). Matemática disso: .
Passo 3
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica. Vamos assumir que nossa transformação pode ser representada por uma matriz . Vamos encontrar essa matriz primeiro.
Passo 4
Construindo a matriz de , observamos que:
Essa matriz vem diretamente da transformação .
Passo 5
Agora, para achar os autovalores , resolvemos o determinante da matriz igual a zero:
Onde é a matriz identidade.
Passo 6
Calculando :
O determinante dessa matriz é:
Simplificando, encontramos o polinômio característico.
Passo 7
Calculando o determinante:
Expandindo:
Igualando a zero:
Factorando:
Então, os autovalores são , , e .
Passo 8
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada .
Para :
Resolvemos :
[
]
Isso nos dá as equações:
Resolvendo, encontramos que . Então, um autovetor é (escolhendo ).
Para :
Resolvemos :
[
]
Isso nos dá as equações:
A solução é e . Então, um autovetor é .
Para :
Resolvemos :
[
]
Isso nos dá as equações:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Então, um autovetor é (escolhendo ).
Passo 9
Agora temos três autovetores:
Eles são linearmente independentes e formam uma base de composta por autovetores de .
Passo 10
Por fim, a representação matricial de nessa base será uma matriz diagonal com os autovalores correspondentes na diagonal. Ou seja:
Onde é a base de autovetores.
Resposta
A base de formada por autovetores de é:
E a representação matricial de nessa base é a matriz diagonal: