Seja a transformação linear definida por . Determine uma base de constituída de autovetores de . Qual a representação matricial de nessa base?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A parada é a seguinte: temos uma transformação linear definida por . A gente precisa achar uma base de que seja formada por autovetores de e depois descobrir qual é a matriz dessa transformação nessa base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um autovetor. Um autovetor de uma transformação linear é um vetor não nulo que, quando é aplicado a ele, o resultado é apenas esse vetor multiplicado por um escalar (o autovalor). Matemática disso: .

Passo 3

Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica. Vamos assumir que nossa transformação pode ser representada por uma matriz . Vamos encontrar essa matriz primeiro.

Passo 4

Construindo a matriz de , observamos que:
Essa matriz vem diretamente da transformação .

Passo 5

Agora, para achar os autovalores , resolvemos o determinante da matriz igual a zero:
Onde é a matriz identidade.

Passo 6

Calculando :
O determinante dessa matriz é:
Simplificando, encontramos o polinômio característico.

Passo 7

Calculando o determinante:
Expandindo:
Igualando a zero:
Factorando:
Então, os autovalores são , , e .

Passo 8

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada .

Para :
Resolvemos :
[

]
Isso nos dá as equações:
Resolvendo, encontramos que . Então, um autovetor é (escolhendo ).

Para :
Resolvemos :
[

]
Isso nos dá as equações:
A solução é e . Então, um autovetor é .

Para :
Resolvemos :
[

]
Isso nos dá as equações:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Então, um autovetor é (escolhendo ).

Passo 9

Agora temos três autovetores:
Eles são linearmente independentes e formam uma base de composta por autovetores de .

Passo 10

Por fim, a representação matricial de nessa base será uma matriz diagonal com os autovalores correspondentes na diagonal. Ou seja:
Onde é a base de autovetores.

Resposta

A base de formada por autovetores de é:
E a representação matricial de nessa base é a matriz diagonal:

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