Seja T: R^3 R^3 a transformação linear definida por T(x, y, z)=(y+z, 2 y+z, y+2 z). Determine uma base de R^3 constituída de autovetores de T. Qual a representação matricial de T nessa base?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A parada é a seguinte: temos uma transformação linear definida por . A gente precisa achar uma base de que seja formada por autovetores de e depois descobrir qual é a matriz dessa transformação nessa base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um autovetor. Um autovetor de uma transformação linear é um vetor não nulo que, quando é aplicado a ele, o resultado é apenas esse vetor multiplicado por um escalar (o autovalor). Matemática disso: .

Passo 3

Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica. Vamos assumir que nossa transformação pode ser representada por uma matriz . Vamos encontrar essa matriz primeiro.

Passo 4

Construindo a matriz A = 0 & 1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 1 & 2 de , observamos que:
Essa matriz vem diretamente da transformação .

Passo 5

Agora, para achar os autovalores det(A - lambda I) = 0 , resolvemos o determinante da matriz igual a zero:
Onde é a matriz identidade.

Passo 6

Calculando A - lambda I = -lambda & 1 & 1 0 & 2 - lambda & 1 0 & 1 & 2 - lambda :
det(A - lambda I) = -lambda cdot det 2 - lambda & 1 1 & 2 - lambda - 1 cdot det 0 & 1 0 & 2 - lambda + 1 cdot det 0 & 2 - lambda 0 & 1
O determinante dessa matriz é:
Simplificando, encontramos o polinômio característico.

Passo 7

Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = -lambda [(2 - lambda)(2 - lambda) - 1 cdot 1] = -lambda [(2 - lambda)^2 - 1]
Expandindo:
-lambda [(4 - 4lambda + lambda^2) - 1] = -lambda (3 - 4lambda + lambda^2) = -lambda^3 + 4lambda^2 - 3lambda
Igualando a zero:
-lambda^3 + 4lambda^2 - 3lambda = 0
Factorando:
lambda (lambda^2 - 4lambda + 3) = 0
Então, os autovalores são , , e .

Passo 8

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada 0 & 1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 1 & 2 x y z = 0 0 0 .

Para y + z = 0 :
Resolvemos 2y + z = 0 :
[ y + 2z = 0
1 -1 1

-1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 x y z = 0 0 0 ]
Isso nos dá as equações:
-x + y + z = 0
y + z = 0
0 1 -1
Resolvendo, encontramos que -3 & 1 & 1 0 & -1 & 1 0 & 1 & -1 x y z = 0 0 0 . Então, um autovetor é -3x + y + z = 0 (escolhendo -y + z = 0 ).

Para y - z = 0 :
Resolvemos -3x + y + y = 0 Rightarrow -3x + 2y = 0 Rightarrow y = 32x :
[ 2 3 3

]
Isso nos dá as equações:
A solução é e . Então, um autovetor é .

Para :
Resolvemos :
[

]
Isso nos dá as equações:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Então, um autovetor é (escolhendo ).

Passo 9

Agora temos três autovetores:
v1 = 1 -1 1 , v2 = 0 1 -1 , v3 = 2 3 3
Eles são linearmente independentes e formam uma base de composta por autovetores de .

Passo 10

Por fim, a representação matricial de [T]B = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3 nessa base será uma matriz diagonal com os autovalores correspondentes na diagonal. Ou seja:
Onde é a base de autovetores.

Resposta

A base de 1 -1 1 , 0 1 -1 , 2 3 3 formada por autovetores de [T]B = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3 é:
E a representação matricial de nessa base é a matriz diagonal:

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