Seja a transformação linear definida por . Determine uma base de constituída de autovetores de . Qual a representação matricial de nessa base?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A parada é a seguinte: temos uma transformação linear definida por . A gente precisa achar uma base de que seja formada por autovetores de e depois descobrir qual é a matriz dessa transformação nessa base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um autovetor. Um autovetor de uma transformação linear é um vetor não nulo que, quando é aplicado a ele, o resultado é apenas esse vetor multiplicado por um escalar (o autovalor). Matemática disso: .
Passo 3
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica. Vamos assumir que nossa transformação pode ser representada por uma matriz . Vamos encontrar essa matriz primeiro.
Passo 4
Construindo a matriz de , observamos que:
Essa matriz vem diretamente da transformação .
Passo 5
Agora, para achar os autovalores det(A - lambda I) = 0 , resolvemos o determinante da matriz igual a zero:
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada 0 & 1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 1 & 2 x y z = 0 0 0 .
Para y + z = 0 :
Resolvemos 2y + z = 0 :
[ y + 2z = 0 1 -1 1
-1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 x y z = 0 0 0 ]
Isso nos dá as equações:
-x + y + z = 0
y + z = 0
0 1 -1
Resolvendo, encontramos que -3 & 1 & 1 0 & -1 & 1 0 & 1 & -1 x y z = 0 0 0 . Então, um autovetor é -3x + y + z = 0 (escolhendo -y + z = 0 ).
Para y - z = 0 :
Resolvemos -3x + y + y = 0 Rightarrow -3x + 2y = 0 Rightarrow y = 32x :
[ 2 3 3
]
Isso nos dá as equações:
A solução é e . Então, um autovetor é .
Para :
Resolvemos :
[
]
Isso nos dá as equações:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Então, um autovetor é (escolhendo ).
Passo 9
Agora temos três autovetores:
v1 = 1 -1 1 , v2 = 0 1 -1 , v3 = 2 3 3
Eles são linearmente independentes e formam uma base de composta por autovetores de .
Passo 10
Por fim, a representação matricial de [T]B = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3 nessa base será uma matriz diagonal com os autovalores correspondentes na diagonal. Ou seja:
Onde é a base de autovetores.
Resposta
A base de 1 -1 1 , 0 1 -1 , 2 3 3 formada por autovetores de [T]B = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3 é:
E a representação matricial de nessa base é a matriz diagonal: