Considere vetores de Re^3, v1=(1,2,0) e v2=(0,2,1). Determine a área do triângulo determinado pelos vetores v1 e-12 projv2 v1.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional: e . A missão é encontrar a área do triângulo formado por e por uma combinação desses vetores que envolve a projeção de sobre . Pra resolver isso, vamos precisar saber sobre vetores, projeção de vetores e cálculo de área através do produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a projeção de um vetor sobre outro. A projeção de projv2 v1 = ( v1 cdot v2v2 cdot v2 ) v2 sobre é basicamente quanto de está na direção de . A fórmula da projeção é:
Vamos calcular isso primeiro.

Passo 3

Calculando o produto escalar v1 cdot v2 = (1)(0) + (2)(2) + (0)(1) = 0 + 4 + 0 = 4 :
v2 cdot v2 = (0)^2 + (2)^2 + (1)^2 = 0 + 4 + 1 = 5
E o produto escalar projv2 v1 = ( 45 ) (0, 2, 1) = ( 0, 85, 45 ) :
Então, a projeção fica:

Passo 4

Agora, temos que calcular -12 projv2 v1 = -12 ( 0, 85, 45 ) = ( 0, -45, -25 ) dessa projeção:
Esse é o segundo vetor que vai formar o triângulo com .

Passo 5

Para achar a área do triângulo formado por dois vetores, usamos o produto vetorial. A área é metade do módulo desse produto. Então, vamos calcular , onde .

Passo 6

Calculando o produto vetorial v1 times w = i & j & k 1 & 2 & 0 0 & -45 & -25 = i (2 cdot -25 - 0 cdot -45) - j (1 cdot -25 - 0 cdot 0) + k (1 cdot -45 - 2 cdot 0) :
v1 times w = i (-45) - j (-25) + k (-45) = ( -45, 25, -45 )
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos encontrar o módulo desse vetor:
| v1 times w | = raiz(-45)^2 + (25)^2 + (-45)^2 = raiz1625 + 425 + 1625 = raiz3625 = 65
A área do triângulo é metade desse valor:
Área = 12 times 65 = 35 Á

Resposta

A área do triângulo determinado pelos vetores é unidades de área.

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