Considere vetores de e . Determine a área do triângulo determinado pelos vetores .
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional: e . A missão é encontrar a área do triângulo formado por e por uma combinação desses vetores que envolve a projeção de sobre . Pra resolver isso, vamos precisar saber sobre vetores, projeção de vetores e cálculo de área através do produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a projeção de um vetor sobre outro. A projeção de sobre é basicamente quanto de está na direção de . A fórmula da projeção é:
Vamos calcular isso primeiro.
Passo 3
Calculando o produto escalar :
E o produto escalar :
Então, a projeção fica:
Passo 4
Agora, temos que calcular dessa projeção:
Esse é o segundo vetor que vai formar o triângulo com .
Passo 5
Para achar a área do triângulo formado por dois vetores, usamos o produto vetorial. A área é metade do módulo desse produto. Então, vamos calcular , onde .