Considere os vetores u=(0,1,-1) e w=(2, k, 0), onde k in Re. Determine todos os valores possíveis de k de modo que a projeção ortogonal do vetor w sobre o vetor u seja igual ao vetor -5 u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar todos os valores de de forma que a projeção ortogonal do vetor sobre o vetor seja igual a . Para resolver isso, vamos usar a matéria de projeção de vetores, especificamente a fórmula da projeção ortogonal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da projeção ortogonal de um vetor proju w = ( w cdot uu cdot u ) u sobre um vetor . A projeção é dada por:
Aqui, é o produto escalar dos vetores e , e é o produto escalar de consigo mesmo, que também representa o quadrado do comprimento de .

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar w cdot u = (2)(0) + (k)(1) + (0)(-1) = 0 + k + 0 = k :
u cdot u = (0)^2 + (1)^2 + (-1)^2 = 0 + 1 + 1 = 2
E o produto escalar :

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da projeção, temos:
proju w = ( k2 ) u
Segundo o enunciado, essa projeção deve ser igual a ( k2 ) u = -5u . Então, podemos escrever:
k2 = -5
Como os vetores são iguais e diferentes de zero, podemos igualar os coeficientes:

Passo 5

Resolvendo essa equação para k = -5 times 2 = -10 :

Resposta

O valor de que satisfaz a condição é .

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