Considere os vetores
e
, onde
. Determine todos os valores possíveis de
de modo que a projeção ortogonal do vetor
sobre o vetor
seja igual ao vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar todos os valores de
de forma que a projeção ortogonal do vetor
sobre o vetor
seja igual a
. Para resolver isso, vamos usar a matéria de projeção de vetores, especificamente a fórmula da projeção ortogonal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da projeção ortogonal de um vetor
sobre um vetor
. A projeção é dada por:
Aqui,
é o produto escalar dos vetores
e
, e
é o produto escalar de
consigo mesmo, que também representa o quadrado do comprimento de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
E o produto escalar
:
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula da projeção, temos:
Segundo o enunciado, essa projeção deve ser igual a
. Então, podemos escrever:
Como os vetores
são iguais e diferentes de zero, podemos igualar os coeficientes:
Passo 5
Resolvendo essa equação para
:
Resposta
O valor de
que satisfaz a condição é
.