é analítica em qualquer domínio que não contenha
.
Passo 1
Oi! Então, o exercício diz que a função
é analítica em qualquer domínio que não contenha
. Isso está ligado à Análise Complexa, que estuda funções de uma variável complexa. Para entender e resolver esse problema, vamos precisar saber o que é uma função analítica, o que significa um domínio no contexto dos números complexos e como identificar pontos especiais, como singularidades.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que é uma função analítica. Uma função é dita analítica em um domínio se ela for diferenciável em todos os pontos desse domínio. Isso é mais forte do que apenas ser diferenciável em cada ponto; a função precisa ter derivadas de todas as ordens nesse domínio.
Agora, o domínio aqui se refere a uma região no plano complexo onde a função está definida e é analítica. Quando o enunciado diz que
é analítica em qualquer domínio que não contenha
, isso implica que
é um ponto onde a função pode não ser analítica, ou seja, pode haver alguma peculiaridade nesse ponto.
Passo 3
Esses pontos onde a função não é analítica são chamados de singularidades. Elas podem ser de diferentes tipos, como pontos isolados ou pontos de acumulação. No nosso caso, como o enunciado fala apenas de
, vamos considerar que é uma singularidade isolada.
Existem diferentes tipos de singularidades isoladas:
- Polo: onde a função tem uma divergência do tipo
. - Ponto essencial: onde a função tem um comportamento mais complicado, não se limitando a polinômios negativos.
- Ponto removível: onde a função pode ser redefinida para ser analítica naquele ponto.
Passo 4
Para identificar o tipo de singularidade em
, precisaríamos de mais informações sobre a função
. No entanto, com base apenas no enunciado, sabemos que
não é analítica em
, mas é analítica em qualquer outro lugar.
Isso sugere que
é uma singularidade isolada. Sem mais detalhes, não podemos determinar se é um polo, ponto essencial ou removível, mas sabemos que a função se comporta bem em qualquer outra região que não inclua esse ponto.
Resposta
A função
possui uma singularidade isolada em
e é analítica em todos os outros pontos do seu domínio.