f é analítica em qualquer domínio que não contenha z=1.

Passo 1

Oi! Então, o exercício diz que a função é analítica em qualquer domínio que não contenha . Isso está ligado à Análise Complexa, que estuda funções de uma variável complexa. Para entender e resolver esse problema, vamos precisar saber o que é uma função analítica, o que significa um domínio no contexto dos números complexos e como identificar pontos especiais, como singularidades.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que é uma função analítica. Uma função é dita analítica em um domínio se ela for diferenciável em todos os pontos desse domínio. Isso é mais forte do que apenas ser diferenciável em cada ponto; a função precisa ter derivadas de todas as ordens nesse domínio.
Agora, o domínio aqui se refere a uma região no plano complexo onde a função está definida e é analítica. Quando o enunciado diz que é analítica em qualquer domínio que não contenha , isso implica que é um ponto onde a função pode não ser analítica, ou seja, pode haver alguma peculiaridade nesse ponto.

Passo 3

Esses pontos onde a função não é analítica são chamados de singularidades. Elas podem ser de diferentes tipos, como pontos isolados ou pontos de acumulação. No nosso caso, como o enunciado fala apenas de , vamos considerar que é uma singularidade isolada.
Existem diferentes tipos de singularidades isoladas:
  1. Polo: onde a função tem uma divergência do tipo .
  2. Ponto essencial: onde a função tem um comportamento mais complicado, não se limitando a polinômios negativos.
  3. Ponto removível: onde a função pode ser redefinida para ser analítica naquele ponto.

Passo 4

Para identificar o tipo de singularidade em , precisaríamos de mais informações sobre a função . No entanto, com base apenas no enunciado, sabemos que não é analítica em , mas é analítica em qualquer outro lugar.
Isso sugere que é uma singularidade isolada. Sem mais detalhes, não podemos determinar se é um polo, ponto essencial ou removível, mas sabemos que a função se comporta bem em qualquer outra região que não inclua esse ponto.

Resposta

A função possui uma singularidade isolada em e é analítica em todos os outros pontos do seu domínio.

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