Num paralelogramo A B C D sabe-se que A=(1,3,-2) e que as diagonais são A C=(4,2,-3) e B D=(-2,0,1). Calcule as coordenadadas dos outros três vértices e determine a área desse paralelogramo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um paralelogramo ABCD onde conhecemos o ponto A = (1, 3, -2) e as diagonais AC = (4, 2, -3) e BD = (-2, 0, 1). A nossa missão é encontrar as coordenadas dos outros três vértices ( B, C, D) e, depois, descobrir a área desse paralelogramo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre paralelogramos e vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto C. Sabemos que a diagonal AC tem o vetor (4, 2, -3). Isso significa que, partindo de A, ao adicionar esse vetor, chegamos em C. Basicamente:
C = A + AC = (1, 3, -2) + (4, 2, -3) = (1+4, 3+2, -2+(-3)) = (5, 5, -5)

Passo 3

Agora que temos o ponto C = (5, 5, -5), vamos usar as propriedades das diagonais de um paralelogramo. Sabemos que as diagonais se bissetam, ou seja, o ponto médio de AC é o mesmo que o ponto médio de BD. Vamos calcular o ponto médio de AC:
Médio de AC = ( 1 + 52, 3 + 52, -2 + (-5)2 ) = ( 3, 4, -3.5 ) é

Passo 4

Sabendo que o ponto médio de BD também é (3, 4, -3.5), podemos encontrar os pontos B e D. Sabemos que o vetor BD = (-2, 0, 1), então podemos expressar B e D em termos do ponto médio:
D = Médio - BD2 = (3, 4, -3.5) - ( -22, 02, 12 ) = (3 + 1, 4 + 0, -3.5 - 0.5) = (4, 4, -4) é
B = Médio + BD2 = (3, 4, -3.5) + ( -22, 02, 12 ) = (3 - 1, 4 + 0, -3.5 + 0.5) = (2, 4, -3) é

Passo 5

Agora temos todos os vértices:
  • A = (1, 3, -2)
  • B = (2, 4, -3)
  • C = (5, 5, -5)
  • D = (4, 4, -4)
Para encontrar a área do paralelogramo, podemos usar o produto vetorial dos vetores que formam dois lados adjacentes. Vamos escolher os vetores AB e AD.
Primeiro, encontramos esses vetores:
AB = B - A = (2-1, 4-3, -3 - (-2)) = (1, 1, -1)
AD = D - A = (4-1, 4-3, -4 - (-2)) = (3, 1, -2)

Passo 6

Agora, calculamos o produto vetorial AB times AD:
AB times AD = i & j & k 1 & 1 & -1 3 & 1 & -2 = i(1 cdot (-2) - (-1) cdot 1) - j(1 cdot (-2) - (-1) cdot 3) + k(1 cdot 1 - 1 cdot 3)
= i(-2 + 1) - j(-2 + 3) + k(1 - 3)
= i(-1) - j(1) + k(-2) = (-1, -1, -2)

Passo 7

A área do paralelogramo é o módulo (ou norma) do produto vetorial:
Área = | AB times AD | = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6 Á

Resposta

Os vértices do paralelogramo são A = (1, 3, -2), B = (2, 4, -3), C = (5, 5, -5) e D = (4, 4, -4). A área desse paralelogramo é raiz6 unidades de área.

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