Num paralelogramo sabe-se que e que as diagonais são e . Calcule as coordenadadas dos outros três vértices e determine a área desse paralelogramo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um paralelogramo onde conhecemos o ponto e as diagonais e . A nossa missão é encontrar as coordenadas dos outros três vértices (, , ) e, depois, descobrir a área desse paralelogramo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre paralelogramos e vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto . Sabemos que a diagonal tem o vetor . Isso significa que, partindo de , ao adicionar esse vetor, chegamos em . Basicamente:
Passo 3
Agora que temos o ponto , vamos usar as propriedades das diagonais de um paralelogramo. Sabemos que as diagonais se bissetam, ou seja, o ponto médio de é o mesmo que o ponto médio de . Vamos calcular o ponto médio de :
Passo 4
Sabendo que o ponto médio de também é , podemos encontrar os pontos e . Sabemos que o vetor , então podemos expressar e em termos do ponto médio:
Passo 5
Agora temos todos os vértices:
Para encontrar a área do paralelogramo, podemos usar o produto vetorial dos vetores que formam dois lados adjacentes. Vamos escolher os vetores e .
Primeiro, encontramos esses vetores:
Passo 6
Agora, calculamos o produto vetorial :
= i(-2 + 1) - j(-2 + 3) + k(1 - 3)
= i(-1) - j(1) + k(-2) = (-1, -1, -2)
Passo 7
A área do paralelogramo é o módulo (ou norma) do produto vetorial:
Área = | AB times AD | = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6 Á
Resposta
Os vértices do paralelogramo são A = (1, 3, -2), B = (2, 4, -3), C = (5, 5, -5) e D = (4, 4, -4). A área desse paralelogramo é raiz6 unidades de área.