Considere os vetores
e
, onde
. Determine todos os valores possíveis de
de modo que o ângulo entre os vetores
seja de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar todos os valores de
que fazem com que o ângulo entre os vetores
e
seja de
. Para resolver isso, a gente vai usar o conceito de produto interno (ou produto escalar) e a fórmula do ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se temos dois vetores
e
, o produto escalar é:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que o cosseno do ângulo
entre dois vetores pode ser encontrado pela fórmula:
Onde
e
são as normas (ou magnitudes) dos vetores
e
, respectivamente.
Passo 4
Vamos calcular as normas dos vetores. A norma de um vetor
é:
Para
:
Para
:
Passo 5
Sabemos que o ângulo entre os vetores é
, então
. Vamos substituir tudo na fórmula do cosseno:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 6
Vamos multiplicar os dois lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos isolar a raiz. Para isso, multiplicamos ambos os lados por 2:
Agora, vamos dividir ambos os lados por
:
Passo 8
Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 9
Agora, vamos resolver para
:
Resposta
Os valores possíveis de
são
e
.