Considere os vetores u=(0,1,-1) e w=(2, k, 0), onde k in Re. Determine todos os valores possíveis de k de modo que o ângulo entre os vetores u e w seja de 60^circ.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar todos os valores de que fazem com que o ângulo entre os vetores e seja de . Para resolver isso, a gente vai usar o conceito de produto interno (ou produto escalar) e a fórmula do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se temos dois vetores a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3 e u cdot w = 0 times 2 + 1 times k + (-1) times 0 = k , o produto escalar é:
No nosso caso, e , então:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o cosseno do ângulo cos(theta) = u cdot w|u| |w| entre dois vetores pode ser encontrado pela fórmula:
Onde e são as normas (ou magnitudes) dos vetores e , respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular as normas dos vetores. A norma de um vetor |a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2 é:
|u| = raiz0^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2
Para |w| = raiz2^2 + k^2 + 0^2 = raiz4 + k^2 :
Para :

Passo 5

Sabemos que o ângulo entre os vetores é 12 = kraiz2 times raiz4 + k^2 , então . Vamos substituir tudo na fórmula do cosseno:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 6

Vamos multiplicar os dois lados da equação por 12 times raiz2 times raiz4 + k^2 = k para eliminar os denominadores:
raiz22 times raiz4 + k^2 = k
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos isolar a raiz. Para isso, multiplicamos ambos os lados por 2:
raiz2 times raiz4 + k^2 = 2k
Agora, vamos dividir ambos os lados por raiz4 + k^2 = 2kraiz2 = kraiz2 :

Passo 8

Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
4 + k^2 = (kraiz2)^2 = 2k^2
Simplificando:
4 + k^2 = 2k^2
Subtraindo 4 = k^2 de ambos os lados:

Passo 9

Agora, vamos resolver para k^2 = 4 implies k = pm 2 :

Resposta

Os valores possíveis de são e .

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