Determinar equações paramétricas e uma equação geral do plano que
© Passa pelo ponto P=(0,1,0) e é perpendicular à reta r : (4,1,0)+t(1,-3,5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! O enunciado pede para encontrar as equações paramétricas e a equação geral de um plano que passa pelo ponto e é perpendicular à reta . Para isso, vamos precisar entender sobre vetores normais e como eles estão relacionados aos planos.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o vetor diretor da reta . A reta está expressa na forma paramétrica , então o vetor diretor é .

Passo 3

Como o plano é perpendicular à reta , o vetor diretor da reta será também o vetor normal do plano. Ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos usar a equação geral do plano, que é dada por:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Onde é um ponto no plano (no caso, ) e é o vetor normal.

Passo 5

Substituindo os valores na equação geral:
1(x - 0) + (-3)(y - 1) + 5(z - 0) = 0
Simplificando:
x - 3(y - 1) + 5z = 0 x - 3y + 3 + 5z = 0 x - 3y + 5z + 3 = 0
Então, a equação geral do plano é:
x - 3y + 5z + 3 = 0

Passo 6

Para encontrar as equações paramétricas do plano, precisamos expressar x = 3y - 5z - 3 x = 3s - 5t - 3 , x = 3s - 5t - 3 y = s z = t e em termos de dois parâmetros. Vamos escolher e como parâmetros.
Usando a equação do plano:
Então, as equações paramétricas ficam:
Onde e são os parâmetros livres.

Resposta

Equação Geral do Plano:
x - 3y + 5z + 3 = 0
Equações Paramétricas do Plano:
x = 3s - 5t - 3 y = s z = t
Onde e são parâmetros reais.

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