Considere os vetores , e . Pede-se
o produto misto de vetores ;
Passo 1
Então, a gente tem três vetores:
O que a gente precisa calcular é o produto misto desses vetores, que é representado por . Esse cálculo vai nos dar um número que representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o produto vetorial () e depois o produto escalar desse resultado com .
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. A fórmula para o produto vetorial é dada pela matriz determinante:
Passo 3
Vamos expandir essa matriz:
b times c = i cdot 1,0 & 2,0 4,0 & -5,0 - j cdot 3,0 & 2,0 2,0 & -5,0 + k cdot 3,0 & 1,0 2,0 & 4,0
Passo 4
Calculando os determinantes:
1,0 & 2,0 4,0 & -5,0 = (1,0 times -5,0) - (2,0 times 4,0) = -5,0 - 8,0 = -13,0
3,0 & 2,0 2,0 & -5,0 = (3,0 times -5,0) - (2,0 times 2,0) = -15,0 - 4,0 = -19,0
3,0 & 1,0 2,0 & 4,0 = (3,0 times 4,0) - (1,0 times 2,0) = 12,0 - 2,0 = 10,0
Passo 5
Agora, substituindo de volta na expressão do produto vetorial:
b times c = i cdot (-13,0) - j cdot (-19,0) + k cdot 10,0
Simplificando:
b times c = -13,0,i + 19,0,j + 10,0,k
Passo 6
Agora que temos b times c, vamos calcular o produto escalar com a:
a cdot (b times c) = (1,0,i + 2,0,j + 3,0,k) cdot (-13,0,i + 19,0,j + 10,0,k)
Passo 7
O produto escalar é feito multiplicando as componentes correspondentes e somando:
(1,0 times -13,0) + (2,0 times 19,0) + (3,0 times 10,0) = -13,0 + 38,0 + 30,0 = 55,0
Resposta
O produto misto a cdot (b times c) é igual a 55,0.