Considere os vetores a=1,0 i+2,0 j+3,0 k, b=3,0 i+1,0 j+2,0 k e c=2,0 i+4,0 j-5,0 k. Pede-se
o produto misto de vetores a (b times c);

Passo 1

Então, a gente tem três vetores:
  • a = 1,0,i + 2,0,j + 3,0,k
  • b = 3,0,i + 1,0,j + 2,0,k
  • c = 2,0,i + 4,0,j - 5,0,k
O que a gente precisa calcular é o produto misto desses vetores, que é representado por a cdot (b times c). Esse cálculo vai nos dar um número que representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o produto vetorial ( b times c) e depois o produto escalar desse resultado com a.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial b times c. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. A fórmula para o produto vetorial é dada pela matriz determinante:
b times c = i & j & k 3,0 & 1,0 & 2,0 2,0 & 4,0 & -5,0

Passo 3

Vamos expandir essa matriz:
b times c = i cdot 1,0 & 2,0 4,0 & -5,0 - j cdot 3,0 & 2,0 2,0 & -5,0 + k cdot 3,0 & 1,0 2,0 & 4,0

Passo 4

Calculando os determinantes:
1,0 & 2,0 4,0 & -5,0 = (1,0 times -5,0) - (2,0 times 4,0) = -5,0 - 8,0 = -13,0
3,0 & 2,0 2,0 & -5,0 = (3,0 times -5,0) - (2,0 times 2,0) = -15,0 - 4,0 = -19,0
3,0 & 1,0 2,0 & 4,0 = (3,0 times 4,0) - (1,0 times 2,0) = 12,0 - 2,0 = 10,0

Passo 5

Agora, substituindo de volta na expressão do produto vetorial:
b times c = i cdot (-13,0) - j cdot (-19,0) + k cdot 10,0
Simplificando:
b times c = -13,0,i + 19,0,j + 10,0,k

Passo 6

Agora que temos b times c, vamos calcular o produto escalar com a:
a cdot (b times c) = (1,0,i + 2,0,j + 3,0,k) cdot (-13,0,i + 19,0,j + 10,0,k)

Passo 7

O produto escalar é feito multiplicando as componentes correspondentes e somando:
(1,0 times -13,0) + (2,0 times 19,0) + (3,0 times 10,0) = -13,0 + 38,0 + 30,0 = 55,0

Resposta

O produto misto a cdot (b times c) é igual a 55,0.

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