Considere os vetores
e
.
b) Determine um vetor
que seja: coplanar aos vetores
e
e
.
b) Determine um vetor
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores,
e
. A questão pede para encontrar um vetor
que seja coplanar com esses dois vetores, de modo que
, onde
é perpendicular a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores coplanares e projeção vetorial.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa vetor
ser coplanar com
e
. Isso quer dizer que
pode ser escrito como combinação linear de
e
. Então, podemos assumir que:
onde
e
são escalares que vamos determinar.
Passo 3
Sabemos que
e que
. A condição de perpendicularidade significa que o produto escalar entre
e
é zero:
Como
, substituímos na equação:
Passo 4
Vamos calcular
e
usando
.
Primeiro, o produto
:
Agora, o produto
:
Passo 5
Vamos calcular os produtos escalares necessários:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Substituindo esses valores na equação
:
Organizando a equação:
Passo 7
Essa é uma equação quadrática em
e
. Para simplificar, podemos escolher um valor para uma das variáveis e resolver para a outra, ou usar outra condição. Vamos notar que como
está no plano de
e
, podemos escolher
para facilitar os cálculos (escolher
diferente de zero evita a solução trivial).
Então, assumindo
:
Reorganizando:
Passo 8
Agora, vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Passo 9
Vamos considerar a solução
:
Então,
Então,
Resposta
Um vetor
que satisfaz as condições é
.