Considere os vetores a=-imath-jmath-3 k e b=imath+2 jmath+2 k.
b) Determine um vetor v que seja: coplanar aos vetores a e b, a=u+v e u perp v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, a=-imath-jmath-3 k e b=imath+2 jmath+2 k. A questão pede para encontrar um vetor v que seja coplanar com esses dois vetores, de modo que a = u + v, onde u é perpendicular a v. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores coplanares e projeção vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa vetor v ser coplanar com a e b. Isso quer dizer que v pode ser escrito como combinação linear de a e b. Então, podemos assumir que:
v = lambda a + mu b
onde lambda e mu são escalares que vamos determinar.

Passo 3

Sabemos que a = u + v e que u perp v. A condição de perpendicularidade significa que o produto escalar entre u e v é zero:
u cdot v = 0
Como u = a - v, substituímos na equação:
(a - v) cdot v = 0 a cdot v - v cdot v = 0 a cdot v = v cdot v

Passo 4

Vamos calcular a cdot v e v cdot v usando v = lambda a + mu b.
Primeiro, o produto a cdot v:
a cdot v = a cdot (lambda a + mu b) = lambda (a cdot a) + mu (a cdot b)
Agora, o produto v cdot v:
v cdot v = (lambda a + mu b) cdot (lambda a + mu b) = lambda^2 (a cdot a) + 2lambdamu (a cdot b) + mu^2 (b cdot b)

Passo 5

Vamos calcular os produtos escalares necessários:
Para a cdot a:
a cdot a = (-1)^2 + (-1)^2 + (-3)^2 = 1 + 1 + 9 = 11
Para a cdot b:
a cdot b = (-1)(1) + (-1)(2) + (-3)(2) = -1 -2 -6 = -9
Para b cdot b:
b cdot b = (1)^2 + (2)^2 + (2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9

Passo 6

Substituindo esses valores na equação a cdot v = v cdot v:
lambda (11) + mu (-9) = lambda^2 (11) + 2lambdamu (-9) + mu^2 (9)
Organizando a equação:
11lambda -9mu = 11lambda^2 -18lambdamu +9mu^2

Passo 7

Essa é uma equação quadrática em lambda e mu. Para simplificar, podemos escolher um valor para uma das variáveis e resolver para a outra, ou usar outra condição. Vamos notar que como v está no plano de a e b, podemos escolher mu = 1 para facilitar os cálculos (escolher mu diferente de zero evita a solução trivial).
Então, assumindo mu = 1:
11lambda -9 = 11lambda^2 -18lambda +9
Reorganizando:
11lambda^2 - 18lambda +9 -11lambda +9 = 0 11lambda^2 -29lambda +18 = 0

Passo 8

Agora, vamos resolver a equação quadrática:
11lambda^2 -29lambda +18 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 29 pm raiz(-29)^2 -4 cdot 11 cdot 182 cdot 11 lambda = 29 pm raiz841 - 79222 lambda = 29 pm raiz4922 lambda = 29 pm 722
Então, temos duas soluções:
lambda = 3622 = 1811 ou lambda = 2222 = 1

Passo 9

Vamos considerar a solução lambda = 1:
Então,
v = 1 cdot a + 1 cdot b = a + b = (-imath-jmath-3 k) + (imath+2 jmath+2 k) = (0)imath + (1)jmath -k
Então,
v = jmath - k

Resposta

Um vetor v que satisfaz as condições é v = jmath - k.

Exercícios relacionados