Dados os vetores u=2 imath+x jmath+k, v=(3-x) imath-5 jmath+2 y k e w=2 imath+x jmath+2 k. Determine x, y in R de modo que
b) u e v sejam paralelos.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores:
u = 2 imath + x jmath + k, v = (3 - x) imath - 5 jmath + 2y k, w = 2 imath + x jmath + 2 k
O objetivo é encontrar os valores reais de e de modo que os vetores e sejam paralelos. Isso significa que um vetor é múltiplo escalar do outro.

Passo 2

Para vetores serem paralelos, um deve ser igual a um número escalar multiplicado pelo outro. Ou seja, existe algum número v = k cdot u tal que:
(3 - x) = k cdot 2 (componente imath)
Vamos igualar as componentes correspondentes dos vetores:
-5 = k cdot x (componente jmath)
2y = k cdot 1 (componente k)

Passo 3

Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas ( 2y = k cdot 1 Rightarrow k = 2y , , e ). Vamos resolver passo a passo.
Primeiro, da terceira equação:

Passo 4

Vamos substituir 3 - x = 2k = 2(2y) = 4y na primeira equação:
Rightarrow x = 3 - 4y

Passo 5

Agora, substituímos -5 = k cdot x = (2y)(3 - 4y) e Rightarrow -5 = 6y - 8y^2 na segunda equação:

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática:
8y^2 - 6y - 5 = 0
Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara para resolver para y = 6 pm raiz(-6)^2 - 4 cdot 8 cdot (-5)2 cdot 8 = 6 pm raiz36 + 16016 = 6 pm raiz19616 = 6 pm 1416 :
y1 = 6 + 1416 = 2016 = 54
Isso nos dá duas soluções para y2 = 6 - 1416 = -816 = -12 :

Passo 7

Agora, encontramos os valores correspondentes de x = 3 - 4 ( 54 ) = 3 - 5 = -2 usando x = 3 - 4 ( -12 ) = 3 + 2 = 5 :
Para :
Para :

Resposta

Os valores que satisfazem a condição de que (x, y) = (-2, 54) ou (5, -12) e sejam paralelos são:

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