*Sejam as matrizes A=(lllx & 1 & 2 3 & y & 5 2 & 3 & z) e D=(di j) uma matriz diagonal de ordem 3. Determine os valores de x, y e z para os quais se verifique
A D=(ccc 2 & 3 & 10 6 & 12 & 25 4 & 9 & 20 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes juntos! A gente tem duas matrizes aqui: a matriz que depende das incógnitas , e , e uma matriz diagonal . O objetivo é encontrar os valores de , e de forma que a multiplicação resulte na matriz dada. Para isso, vamos precisar entender como funciona a multiplicação de matrizes, especialmente quando uma delas é diagonal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz diagonal D = d11 & 0 & 0 0 & d22 & 0 0 & 0 & d33 de ordem 3 tem a seguinte forma:
Isso significa que apenas os elementos da diagonal principal são diferentes de zero, e os demais são zero.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar a matriz A times D = x cdot d11 & 1 cdot d22 & 2 cdot d33 3 cdot d11 & y cdot d22 & 5 cdot d33 2 cdot d11 & 3 cdot d22 & z cdot d33 pela matriz . A multiplicação de matrizes funciona assim: cada elemento da linha de é multiplicado pelos elementos correspondentes da coluna de , e somamos esses produtos.
Para matrizes diagonais, a multiplicação fica mais simples porque apenas os elementos da diagonal de influenciam a multiplicação. Então, a matriz fica assim:

Passo 4

Agora, sabemos que 2 & 3 & 10 6 & 12 & 25 4 & 9 & 20 deve ser igual à matriz:
Vamos igualar os elementos correspondentes das duas matrizes:

Passo 5

Vamos resolver essas equações uma a uma:
  1. De , temos .
  2. De , substituindo , temos .
  3. De , temos .
  4. De , substituindo , temos .
  5. De , temos .
  6. De , substituindo , confirmamos que está correto.
  7. De , substituindo , confirmamos que está certo.
  8. De , substituindo , confirmamos que está correto.
  9. Finalmente, de , substituindo , temos .

Resposta

Os valores são:
x = 1, y = 4, z = 4

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