Sendo a base canônica , onde , sabendo que e :
sendo ache as coordenadas de nas bases e .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos duas bases no espaço tridimensional:
Base C (base canônica E): formada pelos vetores , e .
Base F: formada pelos vetores , e .
Também temos o vetor dado na base E (que é a base C). Nosso objetivo é encontrar as coordenadas desse vetor nas bases C e F.
Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar as coordenadas de um vetor de uma base para outra, utilizando matrizes de passagem.
Passo 2
Primeiro, como a base C é a base canônica E e o vetor já está dado nessa base, as coordenadas de na base C são as mesmas que na base E. Portanto, já sabemos que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas de na base F. Para isso, precisamos expressar como uma combinação linear dos vetores da base F. Ou seja, queremos encontrar escalares , e tais que:
Substituindo os valores de , e :
Passo 4
Agora, substituímos os vetores , e pelos seus componentes:
Simplificando:
Que resulta em:
Passo 5
Sabemos que , então podemos igualar as componentes:
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações:
Da primeira equação: c = 1.
Substituindo c na segunda equação: 2a - 1 = -1 → 2a = 0 → a = 0.
Substituindo c na terceira equação: b + 1 = 3 → b = 2.
Passo 7
Encontramos que:
a = 0, b = 2, c = 1
Portanto, as coordenadas de v na base F são (0, 2, 1)F.
Resposta
As coordenadas do vetor v = (1, -1, 3) na base C são (1, -1, 3)C e na base F são (0, 2, 1)F.