Sendo C a base canônica E=(e1, e2, e3), onde e1=(1,1,0), e2=(1,-1,0), e3=(0,0,1) e F=(f1, f2, f3), sabendo que f1=e1-e2, f2=e3 e f3=e2+e3 :
sendo v=(1,-1,3)E ache as coordenadas de v nas bases C e F.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos duas bases no espaço tridimensional:
  • Base C (base canônica E): formada pelos vetores e1 = (1,1,0), e2 = (1,-1,0) e e3 = (0,0,1).
  • Base F: formada pelos vetores f1 = e1 - e2, f2 = e3 e f3 = e2 + e3.
Também temos o vetor v = (1, -1, 3) dado na base E (que é a base C). Nosso objetivo é encontrar as coordenadas desse vetor nas bases C e F.
Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar as coordenadas de um vetor de uma base para outra, utilizando matrizes de passagem.

Passo 2

Primeiro, como a base C é a base canônica E e o vetor v já está dado nessa base, as coordenadas de v na base C são as mesmas que na base E. Portanto, já sabemos que:
v = (1, -1, 3)C

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas de v na base F. Para isso, precisamos expressar v como uma combinação linear dos vetores da base F. Ou seja, queremos encontrar escalares a, b e c tais que:
v = af1 + bf2 + cf3
Substituindo os valores de f1, f2 e f3:
v = a(e1 - e2) + be3 + c(e2 + e3)

Passo 4

Agora, substituímos os vetores e1, e2 e e3 pelos seus componentes:
v = a(1,1,0) - a(1,-1,0) + b(0,0,1) + c(1,-1,0) + c(0,0,1)
Simplificando:
v = (a - a + c, a + a - c, 0 + 0 + b + c)
Que resulta em:
v = (c, 2a - c, b + c)

Passo 5

Sabemos que v = (1, -1, 3), então podemos igualar as componentes:
c = 1 2a - c = -1 b + c = 3

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da primeira equação: c = 1.
  2. Substituindo c na segunda equação: 2a - 1 = -1 2a = 0 a = 0.
  3. Substituindo c na terceira equação: b + 1 = 3 b = 2.

Passo 7

Encontramos que:
a = 0, b = 2, c = 1
Portanto, as coordenadas de v na base F são (0, 2, 1)F.

Resposta

As coordenadas do vetor v = (1, -1, 3) na base C são (1, -1, 3)C e na base F são (0, 2, 1)F.

Exercícios relacionados