Dê exemplos de vetores em para os quais não vale a associatividade do produto vetorial, isto é, encontre vetores tais que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar exemplos de três vetores , e no espaço onde o produto vetorial não é associativo. Ou seja, precisamos achar vetores que satisfaçam . Para resolver isso, vamos usar as propriedades do produto vetorial e escolher vetores específicos que nos ajudem a demonstrar essa desigualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial entre dois vetores em resulta em um terceiro vetor perpendicular aos dois originais. A associatividade, que é comum em operações como a adição, não se aplica geralmente ao produto vetorial. Para verificar isso, vamos escolher vetores simples.
Vamos definir:
Esses são os vetores canônicos do espaço tridimensional, facilitando os cálculos.
Passo 3
Agora, vamos calcular os dois lados da desigualdade para esses vetores.
Primeiro, calculemos v times w = 0 1 0 times 0 0 1 = 1 0 0 = u :
u times (v times w) = u times u = 1 0 0 times 1 0 0 = 0 0 0
Em seguida, calculamos u times v = 1 0 0 times 0 1 0 = 0 0 1 = w :
(u times v) times w = w times w = 0 0 1 times 0 0 1 = 0 0 0
Agora, vamos calcular :
E então, :
Passo 4
Depois de fazer os cálculos, vemos que:
u times (v times w) = 0 0 0 e (u times v) times w = 0 0 0
Parece que os dois lados são iguais, então vamos escolher outros vetores para encontrar a desigualdade desejada.
Passo 5
Vamos tentar com vetores diferentes. Definimos:
u = 1 2 3, v = 4 5 6, w = 7 8 9
Agora, vamos calcular novamente os dois lados.
Passo 6
Primeiro, calculamos v times w = i & j & k 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 = i(5 cdot 9 - 6 cdot 8) - j(4 cdot 9 - 6 cdot 7) + k(4 cdot 8 - 5 cdot 7) :