Dê exemplos de vetores u, v, w em R^3 para os quais não vale a associatividade do produto vetorial, isto é, encontre vetores u, v, w tais que u times(v times w) neq(u times v) times w.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar exemplos de três vetores , e no espaço onde o produto vetorial não é associativo. Ou seja, precisamos achar vetores que satisfaçam . Para resolver isso, vamos usar as propriedades do produto vetorial e escolher vetores específicos que nos ajudem a demonstrar essa desigualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial entre dois vetores em u = 1 0 0, v = 0 1 0, w = 0 0 1 resulta em um terceiro vetor perpendicular aos dois originais. A associatividade, que é comum em operações como a adição, não se aplica geralmente ao produto vetorial. Para verificar isso, vamos escolher vetores simples.
Vamos definir:
Esses são os vetores canônicos do espaço tridimensional, facilitando os cálculos.

Passo 3

Agora, vamos calcular os dois lados da desigualdade para esses vetores.
Primeiro, calculemos v times w = 0 1 0 times 0 0 1 = 1 0 0 = u :
u times (v times w) = u times u = 1 0 0 times 1 0 0 = 0 0 0
Em seguida, calculamos u times v = 1 0 0 times 0 1 0 = 0 0 1 = w :
(u times v) times w = w times w = 0 0 1 times 0 0 1 = 0 0 0
Agora, vamos calcular :
E então, :

Passo 4

Depois de fazer os cálculos, vemos que:
u times (v times w) = 0 0 0 e (u times v) times w = 0 0 0
Parece que os dois lados são iguais, então vamos escolher outros vetores para encontrar a desigualdade desejada.

Passo 5

Vamos tentar com vetores diferentes. Definimos:
u = 1 2 3, v = 4 5 6, w = 7 8 9
Agora, vamos calcular novamente os dois lados.

Passo 6

Primeiro, calculamos v times w = i & j & k 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 = i(5 cdot 9 - 6 cdot 8) - j(4 cdot 9 - 6 cdot 7) + k(4 cdot 8 - 5 cdot 7) :
= i(45 - 48) - j(36 - 42) + k(32 - 35)
= -3 6 -3
u times -3 6 -3 = 1 2 3 times -3 6 -3
Então, = i & j & k 1 & 2 & 3 -3 & 6 & -3 :
= i(2 cdot (-3) - 3 cdot 6) - j(1 cdot (-3) - 3 cdot (-3)) + k(1 cdot 6 - 2 cdot (-3))
= i(-6 - 18) - j(-3 + 9) + k(6 + 6)
= -24 6 12
u times v = 1 2 3 times 4 5 6
= i & j & k 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6
Agora, vamos calcular = i(2 cdot 6 - 3 cdot 5) - j(1 cdot 6 - 3 cdot 4) + k(1 cdot 5 - 2 cdot 4) :
= i(12 - 15) - j(6 - 12) + k(5 - 8)
= -3 6 -3
-3 6 -3 times 7 8 9 = i & j & k -3 & 6 & -3 7 & 8 & 9
= i(6 cdot 9 - (-3) cdot 8) - j((-3) cdot 9 - (-3) cdot 7) + k((-3) cdot 8 - 6 cdot 7)
= i(54 + 24) - j(-27 + 21) + k(-24 - 42)
E então, = 78 -6 -66 :

Passo 7

Comparando os resultados:
u times (v times w) = -24 6 12
(u times v) times w = 78 -6 -66
Como -24 6 12, verificamos que a associatividade não se mantém para esses vetores.

Resposta

Portanto, os vetores
u = 1 2 3, v = 4 5 6, w = 7 8 9
satisfazem , demonstrando que o produto vetorial não é associativo.

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