Considere os vetores a=-imath-jmath-3 k e b=imath+2 jmath+2 k.
a) Determine o vetor u=Projb a, i.e., a projeção ortogonal de a em b.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a projeção ortogonal do vetor a = -imath - jmath - 3k no vetor b = imath + 2jmath + 2k. Isso está dentro do conteúdo de Vetores e Geometria Analítica, especificamente sobre projeção de vetores. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da projeção de um vetor sobre outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a projeção de a sobre b. A projeção Projb a é dada por:
Projb a = ( a cdot bb cdot b ) b
Aqui, a cdot b é o produto escalar entre os vetores a e b, e b cdot b é o produto escalar de b consigo mesmo.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar a cdot b. O produto escalar de dois vetores a = aximath + ayjmath + azk e b = bximath + byjmath + bzk é:
a cdot b = ax bx + ay by + az bz
Substituindo os valores:
a cdot b = (-1)(1) + (-1)(2) + (-3)(2) = -1 - 2 - 6 = -9

Passo 4

Agora, vamos calcular b cdot b, que é o produto escalar de b consigo mesmo:
b cdot b = bx^2 + by^2 + bz^2
Substituindo os valores:
b cdot b = (1)^2 + (2)^2 + (2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9

Passo 5

Com os valores de a cdot b = -9 e b cdot b = 9, podemos substituir na fórmula da projeção:
Projb a = ( -99 ) b = (-1) b

Passo 6

Finalmente, multiplicamos o escalar -1 pelo vetor b:
Projb a = -1 cdot (imath + 2jmath + 2k) = -imath - 2jmath - 2k

Resposta

A projeção ortogonal de a em b é u = -imath - 2jmath - 2k.

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