Considere os vetores a=imath+2 jmath-3 kappa e b=2 imath+jmath-2 k. Determine as coordenadas do versor dos vetores abaixo:
(a) a+b
(b) 2 a-3 b
© 5 a+4 b

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinarmos as coordenadas dos versores dos vetores resultantes das operações dadas. Isso envolve trabalhar com vetores, operações vetoriais como soma e subtração, e versores, que são vetores com magnitude igual a 1. Para isso, vamos precisar saber como somar vetores, multiplicá-los por escalar e calcular a magnitude de um vetor.

Passo 2

Parte (a): a = imath + 2jmath - 3k
Primeiro, vamos somar os vetores b = 2imath + jmath - 2k e a + b = (imath + 2imath) + (2jmath + jmath) + (-3k - 2k) = 3imath + 3jmath - 5k .
Dados:
|a + b| = raiz3^2 + 3^2 + (-5)^2 = raiz9 + 9 + 25 = raiz43
u = 1raiz43 (3imath + 3jmath - 5k) = 3raiz43imath + 3raiz43jmath - 5raiz43k
A soma de dois vetores é feita somando suas componentes correspondentes:
Agora, para encontrar o versor desse vetor, precisamos calcular a magnitude do vetor resultante e depois dividir cada componente por essa magnitude.
Magnitude de :
Então, o versor é:

Passo 3

Parte (b): 2a = 2(imath + 2jmath - 3k) = 2imath + 4jmath - 6k
Primeiro, vamos calcular 3b = 3(2imath + jmath - 2k) = 6imath + 3jmath - 6k e 2a - 3b = (2imath - 6imath) + (4jmath - 3jmath) + (-6k + 6k) = -4imath + jmath + 0k = -4imath + jmath :
|2a - 3b| = raiz(-4)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz16 + 1 + 0 = raiz17
u = 1raiz17 (-4imath + jmath) = -4raiz17imath + 1raiz17jmath
Agora, subtraímos de :
Agora, calculamos a magnitude desse vetor:
E o versor será:

Passo 4

Parte ©: 5a = 5(imath + 2jmath - 3k) = 5imath + 10jmath - 15k
Vamos calcular 4b = 4(2imath + jmath - 2k) = 8imath + 4jmath - 8k e 5a + 4b = (5imath + 8imath) + (10jmath + 4jmath) + (-15k -8k) = 13imath + 14jmath - 23k :
|5a + 4b| = raiz13^2 + 14^2 + (-23)^2 = raiz169 + 196 + 529 = raiz894
u = 1raiz894 (13imath + 14jmath - 23k) = 13raiz894imath + 14raiz894jmath - 23raiz894k
Agora, somamos e :
Calculando a magnitude desse vetor:
E o versor será:

Resposta

As coordenadas dos versores dos vetores são:
(a)
(b)
©

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Determine as coordenadas de um vetor x, de módulo 4, de mesmo sentido do vetor v=6 imath-2 jmath-3 k.
Dadas A=[ccc1 & 5 & 7 3 & 9 & 11], B=[ccc2 & 4 & 6 8 & 10 & 12] e C=[ccc0 & -1 & -5 1 & 4 & 7]. Calcule A+B+C e -A+B-C.
Dados os vetores v1=(1,0,0), v2=(3,2,1) e v3=(-1,-1,1), escreva o vetor v=(4,-1,0) como combinação linear dos vetores da base v1, v2, v3.
Determine se os seguintes conjuntos são bases dos respectivos espaços vetoriais. Usando esta informação, determine a dimensão do espaço vetorial.
  • beta=(1,1),(2,3), V=R^2 ;
  • beta=(1,2),(2,4), V=R^2
  • beta=(1,1,1),(2,1,3), V=R^3;
  • beta=(1,0,1),(2,1,3),(3,1,5), V=R^3;
  • beta=(2,1,-1),(1,2,3),(-1,0,0), V=R^3;
  • beta=(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0), V=R^4.