Determine se os seguintes conjuntos são bases dos respectivos espaços vetoriais. Usando esta informação, determine a dimensão do espaço vetorial.
  • beta=(1,1),(2,3), V=R^2 ;
  • beta=(1,2),(2,4), V=R^2
  • beta=(1,1,1),(2,1,3), V=R^3;
  • beta=(1,0,1),(2,1,3),(3,1,5), V=R^3;
  • beta=(2,1,-1),(1,2,3),(-1,0,0), V=R^3;
  • beta=(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0), V=R^4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se certos conjuntos de vetores são bases dos respectivos espaços vetoriais e, com base nisso, determinar a dimensão desses espaços. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base, lidar com conceitos de independência linear e verificação de abrangência (ou seja, se os vetores “cobrem” todo o espaço). Vamos usar álgebra linear, especificamente matrizes e determinantes, para facilitar a análise.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Um conjunto de vetores é uma base se ele satisfaz duas condições:
  1. Independência Linear: Nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
  2. Abrangência: Qualquer vetor do espaço pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores do conjunto.
A dimensão do espaço vetorial é o número de vetores em qualquer base desse espaço.

Passo 3

Vamos analisar cada conjunto de vetores dado e verificar se ele é uma base para o espaço correspondente.

1. beta=(1,1),(2,3), V=R^2

  • Independência Linear: Calculamos o determinante da matriz formada pelos vetores:
    det 1 & 2 1 & 3 = (1)(3) - (2)(1) = 3 - 2 = 1 neq 0
    Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
  • Abrangência: Como temos dois vetores independentes em R^2, eles também abrangem o espaço.

2. beta=(1,2),(2,4), V=R^2

  • Independência Linear: Calculamos o determinante:
    det 1 & 2 2 & 4 = (1)(4) - (2)(2) = 4 - 4 = 0
    O determinante é zero, então os vetores são linearmente dependentes.
  • Abrangência: Como os vetores são dependentes, eles não abrangem todo o espaço.

3. beta=(1,1,1),(2,1,3), V=R^3

  • Número de Vetores: Para R^3, precisamos de 3 vetores para uma base. Aqui temos apenas 2.
  • Independência Linear: Mesmo que sejam independentes, não abrangem R^3.

4. beta=(1,0,1),(2,1,3),(3,1,5), V=R^3

  • Independência Linear: Calculamos o determinante:
    det 1 & 2 & 3 0 & 1 & 1 1 & 3 & 5 = 1(1 cdot 5 - 1 cdot 3) - 2(0 cdot 5 - 1 cdot 1) + 3(0 cdot 3 - 1 cdot 1) = 1(2) - 2(-1) + 3(-1) = 2 + 2 - 3 = 1 neq 0
    Determinante diferente de zero, então são independentes.
  • Abrangência: Com 3 vetores independentes em R^3, eles formam uma base.

5. beta=(2,1,-1),(1,2,3),(-1,0,0), V=R^3

  • Independência Linear: Calculamos o determinante:
    det 2 & 1 & -1 1 & 2 & 0 -1 & 3 & 0 = 2(2 cdot 0 - 0 cdot 3) - 1(1 cdot 0 - 0 cdot -1) + (-1)(1 cdot 3 - 2 cdot -1) = 2(0) - 1(0) + (-1)(3 + 2) = -5 neq 0
    Determinante diferente de zero, então são independentes.
  • Abrangência: Com 3 vetores independentes em R^3, eles formam uma base.

6. beta=(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0), V=R^4

  • Independência Linear: Vamos montar a matriz e verificar se o determinante é diferente de zero ou usar operações para ver se os vetores são independentes.
    Observando os vetores, podemos notar que o quarto vetor (1,0,0,0) não pode ser escrito como combinação dos anteriores, e assim sucessivamente. Todos os vetores são adicionando uma nova dimensão, portanto são independentes.
  • Abrangência: Temos 4 vetores independentes em R^4, formando uma base.

Resposta

  1. beta=(1,1),(2,3), V=R^2 é uma base de R^2.
    Dimensão: 2.
  2. beta=(1,2),(2,4), V=R^2 não é uma base de R^2.
    Dimensão: 1.
  3. beta=(1,1,1),(2,1,3), V=R^3 não é uma base de R^3.
    Dimensão: 2.
  4. beta=(1,0,1),(2,1,3),(3,1,5), V=R^3 é uma base de R^3.
    Dimensão: 3.
  5. beta=(2,1,-1),(1,2,3),(-1,0,0), V=R^3 é uma base de R^3.
    Dimensão: 3.
  6. beta=(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0), V=R^4 é uma base de R^4.
    Dimensão: 4.

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