Determine se os seguintes conjuntos são bases dos respectivos espaços vetoriais. Usando esta informação, determine a dimensão do espaço vetorial.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se certos conjuntos de vetores são bases dos respectivos espaços vetoriais e, com base nisso, determinar a dimensão desses espaços. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base, lidar com conceitos de independência linear e verificação de abrangência (ou seja, se os vetores “cobrem” todo o espaço). Vamos usar álgebra linear, especificamente matrizes e determinantes, para facilitar a análise.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Um conjunto de vetores é uma base se ele satisfaz duas condições:
Independência Linear: Nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
Abrangência: Qualquer vetor do espaço pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores do conjunto.
A dimensão do espaço vetorial é o número de vetores em qualquer base desse espaço.
Passo 3
Vamos analisar cada conjunto de vetores dado e verificar se ele é uma base para o espaço correspondente.
1.
Independência Linear: Calculamos o determinante da matriz formada pelos vetores:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Abrangência: Como temos dois vetores independentes em , eles também abrangem o espaço.
2.
Independência Linear: Calculamos o determinante:
O determinante é zero, então os vetores são linearmente dependentes.
Abrangência: Como os vetores são dependentes, eles não abrangem todo o espaço.
3.
Número de Vetores: Para , precisamos de 3 vetores para uma base. Aqui temos apenas 2.
Independência Linear: Mesmo que sejam independentes, não abrangem .
4.
Independência Linear: Calculamos o determinante:
Determinante diferente de zero, então são independentes.
Abrangência: Com 3 vetores independentes em R^3, eles formam uma base.
Independência Linear: Vamos montar a matriz e verificar se o determinante é diferente de zero ou usar operações para ver se os vetores são independentes.
Observando os vetores, podemos notar que o quarto vetor (1,0,0,0) não pode ser escrito como combinação dos anteriores, e assim sucessivamente. Todos os vetores são adicionando uma nova dimensão, portanto são independentes.
Abrangência: Temos 4 vetores independentes em R^4, formando uma base.
Resposta
beta=(1,1),(2,3), V=R^2 é uma base de R^2. Dimensão: 2.
beta=(1,2),(2,4), V=R^2 não é uma base de R^2. Dimensão: 1.
beta=(1,1,1),(2,1,3), V=R^3 não é uma base de R^3. Dimensão: 2.
beta=(1,0,1),(2,1,3),(3,1,5), V=R^3 é uma base de R^3. Dimensão: 3.
beta=(2,1,-1),(1,2,3),(-1,0,0), V=R^3 é uma base de R^3. Dimensão: 3.
beta=(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0), V=R^4 é uma base de R^4. Dimensão: 4.