Dados os vetores v1=(1,0,0), v2=(3,2,1) e v3=(-1,-1,1), escreva o vetor v=(4,-1,0) como combinação linear dos vetores da base v1, v2, v3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente escrever o vetor v = (4, -1, 0) como uma combinação linear dos vetores da base v1, v2, v3, onde:
v1 = (1, 0, 0), v2 = (3, 2, 1), v3 = (-1, -1, 1)
Isso significa que queremos encontrar números (coeficientes) a, b e c tais que:
a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 = v

Passo 2

Vamos escrever essa combinação linear em termos das coordenadas dos vetores. Substituindo os valores, temos:
a cdot (1, 0, 0) + b cdot (3, 2, 1) + c cdot (-1, -1, 1) = (4, -1, 0)
Multiplicando cada coeficiente pelo vetor correspondente:
(a cdot 1 + b cdot 3 + c cdot (-1), a cdot 0 + b cdot 2 + c cdot (-1), a cdot 0 + b cdot 1 + c cdot 1) = (4, -1, 0)
Isso nos dá um sistema de equações:
  1. a + 3b - c = 4
  2. 2b - c = -1
  3. b + c = 0

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiramente, da terceira equação:
b + c = 0 Rightarrow c = -b
Agora, substituímos c = -b na segunda equação:
2b - (-b) = -1 Rightarrow 2b + b = -1 Rightarrow 3b = -1 Rightarrow b = -13

Passo 4

Com o valor de b encontrado, podemos determinar c usando c = -b:
c = -(-13) = 13

Passo 5

Agora, substituímos os valores de b e c na primeira equação para encontrar a:
a + 3(-13) - 13 = 4 a - 1 - 13 = 4 a - 43 = 4 a = 4 + 43 a = 123 + 43 a = 163

Resposta

Portanto, o vetor v = (4, -1, 0) pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base da seguinte forma:
v = 163 cdot v1 - 13 cdot v2 + 13 cdot v3

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